입사평면파와 구면산란파, 산란진폭과 단면적을 정의하고 Born 근사·위상이동·광학정리를 계산합니다.

학부 양자역학 I·II · PART 8 · 산란·얽힘·다체계로01 / 03

입자빔을 표적에 쏘면 검출기의 각도별 계수율이 보이지 않는 퍼텐셜과 구조를 역으로 알려줍니다.

충돌 뒤 어느 방향으로 얼마나 흩어지는지를 파동함수에서 어떻게 읽을까요?

이번 글의 답멀리서 ψ≈e^{ikz}+f(θ,φ)e^{ikr}/r로 분리하고 확률전류 비로 dσ/dΩ=|f|²를 정의합니다. 약한 퍼텐셜은 Fourier 변환인 Born 진폭으로, 중심퍼텐셜은 각 l의 phase shift로 기술합니다.

01직관부터 완전 전개 계산까지

QUANTUM MECHANICS, FROM ZERO

산란이론: 기호를 외우기 전에 질문부터 세우기

산란은 원자핵·결정·표면의 보이지 않는 구조를 측정하는 핵심 방법입니다. 여기서 중요한 것은 ‘입자가 튕긴다’는 그림보다 입사파와 outgoing spherical wave의 계수 f가 어떤 관측량을 만드는지입니다.

BEFORE YOU START

이 글을 읽기 전에 확인할 세 가지

01

확률전류와 경계조건

02

각운동량 부분파

03

동일입자의 대칭성

CORE CONCEPT

미분단면적

입사 flux당 특정 입체각으로 산란되는 rate를 면적 단위로 나타낸 dσ/dΩ입니다.

CORE CONCEPT

Born 근사

산란상태를 첫 단계에서 입사평면파로 대체해 퍼텐셜의 Fourier 변환으로 진폭을 구하는 약결합 근사입니다.

CORE CONCEPT

위상이동

퍼텐셜이 각 부분파의 자유파 위상을 δl만큼 바꾸는 효과입니다.

CONCEPT ROUTE

관찰에서 식과 예측으로 가는 흐름

각 화살표는 단순한 목차가 아니라 다음 단계가 왜 필요한지를 보여줍니다.

01입사빔

flux

02산란경계조건

outgoing wave

03f(θ)

복소 진폭

04단면적

검출 rate

$$ \psi\xrightarrow{r\to\infty}e^{ikz}+f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r},\qquad \frac{d\sigma}{d\Omega}=|f(\theta)|^2,\qquad \sigma_{\mathrm{tot}}=\frac{4\pi}{k}\operatorname{Im}f(0) $$

DERIVE THE EQUATION

핵심 식을 네 단계로 읽고 유도합니다

$$ \psi\xrightarrow{r\to\infty}e^{ikz}+f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r},\qquad \frac{d\sigma}{d\Omega}=|f(\theta)|^2,\qquad \sigma_{\mathrm{tot}}=\frac{4\pi}{k}\operatorname{Im}f(0) $$
01

멀리서 입사평면파와 outgoing spherical wave의 확률전류를 각각 계산합니다.

02

검출 구면의 면적요소 r²dΩ를 곱해 산란 rate/입사 flux=dσ를 얻고 dσ/dΩ=|f|²를 확인합니다.

03

Lippmann–Schwinger를 한 번 iterate해 fB(q)=−m/(2πℏ²)∫e^{-iq·r}V(r)d³r를 얻습니다.

04

중심퍼텐셜에서는 평면파를 Legendre 부분파로 전개하고 S_l=e^{2iδl}의 unitary로 광학정리를 검산합니다.

THREE WORKED PROBLEMS

대입에서 끝내지 않고 결과의 뜻까지 확인합니다

각 예제는 식 세우기 → 계산 → 단위·극한 점검 → 물리적 해석의 순서로 읽으세요.

01

등방 s-wave 산란의 전체단면적

$$ \begin{aligned}f(\theta)&=-a_s\\\frac{d\sigma}{d\Omega}&=a_s^2\\\sigma_{\mathrm{tot}}&=\int d\Omega\,a_s^2=4\pi a_s^2\end{aligned} $$

저에너지에서 더 높은 l은 원심장벽으로 억제되어 s-wave만 남습니다. 산란길이 as 하나가 복잡한 짧은거리 퍼텐셜을 요약합니다.

02

hard sphere의 저에너지 s-wave

$$ \begin{aligned}\delta_0&\simeq-ka\\f_0&=\frac{e^{i\delta_0}\sin\delta_0}{k}\simeq-a\\\sigma&\simeq4\pi a^2\end{aligned} $$

고전 hard sphere 단면적 πa²보다 네 배 큽니다. 저에너지 파동의 회절과 s-wave 경계조건이 양자결과를 만듭니다.

03

부분파 unitarity 상한

$$ \begin{aligned}\sigma_l&=\frac{4\pi}{k^2}(2l+1)\sin^2\delta_l\\\sigma_l&\le\frac{4\pi}{k^2}(2l+1)\end{aligned} $$

δl=π/2인 공명에서 한 부분파가 가능한 최대 단면적에 도달합니다. 계산된 단면적이 이 상한을 넘으면 근사나 정규화가 잘못된 것입니다.

스스로 확인하기 · 충돌 뒤 어느 방향으로 얼마나 흩어지는지를 파동함수에서 어떻게 읽을까요?

멀리서 ψ≈e^{ikz}+f(θ,φ)e^{ikr}/r로 분리하고 확률전류 비로 dσ/dΩ=|f|²를 정의합니다. 약한 퍼텐셜은 Fourier 변환인 Born 진폭으로, 중심퍼텐셜은 각 l의 phase shift로 기술합니다.

02문제와 물리적 직관

산란은 원자핵·결정·표면의 보이지 않는 구조를 측정하는 핵심 방법입니다. 여기서 중요한 것은 ‘입자가 튕긴다’는 그림보다 입사파와 outgoing spherical wave의 계수 f가 어떤 관측량을 만드는지입니다.

먼저 구분할 세 가지 개념
  • 미분단면적 — 입사 flux당 특정 입체각으로 산란되는 rate를 면적 단위로 나타낸 dσ/dΩ입니다.
  • Born 근사 — 산란상태를 첫 단계에서 입사평면파로 대체해 퍼텐셜의 Fourier 변환으로 진폭을 구하는 약결합 근사입니다.
  • 위상이동 — 퍼텐셜이 각 부분파의 자유파 위상을 δl만큼 바꾸는 효과입니다.

03수학적 모형과 핵심 방정식

정상 산란상태의 asymptotic form에서 입사전류는 ℏk/m, 산란전류는 (ℏk/m)|f|²/r²입니다. 따라서 입체각 r²dΩ를 통과하는 비로 dσ/dΩ=|f|²를 얻습니다. 부분파는 f=(1/k)Σ(2l+1)e^{iδl}sinδl Pl(cosθ)입니다.

$$ \psi\xrightarrow{r\to\infty}e^{ikz}+f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r},\qquad \frac{d\sigma}{d\Omega}=|f(\theta)|^2,\qquad \sigma_{\mathrm{tot}}=\frac{4\pi}{k}\operatorname{Im}f(0) $$
마지막 광학정리는 전체 산란확률을 정면방향 진폭의 허수부와 연결하는 unitary 결과입니다.

04유도와 계산 전략

공식은 외우는 대상이 아니라 가정과 정의에서 따라 나오는 결과입니다. 아래 순서를 따라 각 항의 출처와 계산 조건을 확인합니다.

식을 전개하는 네 단계
  • 멀리서 입사평면파와 outgoing spherical wave의 확률전류를 각각 계산합니다.
  • 검출 구면의 면적요소 r²dΩ를 곱해 산란 rate/입사 flux=dσ를 얻고 dσ/dΩ=|f|²를 확인합니다.
  • Lippmann–Schwinger를 한 번 iterate해 fB(q)=−m/(2πℏ²)∫e^{-iq·r}V(r)d³r를 얻습니다.
  • 중심퍼텐셜에서는 평면파를 Legendre 부분파로 전개하고 S_l=e^{2iδl}의 unitary로 광학정리를 검산합니다.

05적용 범위·한계·다음 연결

첫 Born 근사는 퍼텐셜이 약하고 고에너지일 때 적절하며 Coulomb 장거리 퍼텐셜에는 특별한 처리가 필요합니다. inelastic channel이 열리면 S-matrix가 단일 elastic channel에서 더 이상 위상 하나로 끝나지 않습니다.

다음 과목과 연구로 이어지는 연결
  • 전자·중성자·X선 산란은 원자·결정·자기구조를 재구성합니다.
  • LEED·RHEED와 표면분석은 파동 산란과 reciprocal-space 선택규칙을 사용합니다.
  • 고급 과정에서 Green 함수, T-matrix, resonance pole로 체계화합니다.

06이 글의 용어 사전

본문을 읽다가 “그래서 이 말이 정확히 뭐지?”라는 질문이 생기면 여기에서 다시 확인할 수 있습니다.

미분단면적differential cross section
입사 flux당 특정 입체각으로 산란되는 rate를 면적 단위로 나타낸 dσ/dΩ입니다.
Born 근사Born approximation
산란상태를 첫 단계에서 입사평면파로 대체해 퍼텐셜의 Fourier 변환으로 진폭을 구하는 약결합 근사입니다.
위상이동phase shift
퍼텐셜이 각 부분파의 자유파 위상을 δl만큼 바꾸는 효과입니다.
상태벡터state vector
한 양자계에서 가능한 모든 측정의 확률 정보를 담는 Hilbert 공간의 벡터입니다.
Hamiltonian
계의 에너지와 시간발전을 생성하는 Hermitian 연산자입니다.
중첩superposition
둘 이상의 허용 상태를 복소 계수로 선형 결합해 새로운 상태를 만드는 성질입니다.

07참고자료와 더 읽을거리

  1. KAIST 물리학과 교과과정 — PH301·PH302 양자역학 I·II와 수리물리학·고전역학의 공식 학부 교과 흐름을 확인합니다.
  2. MIT OpenCourseWare, Quantum Physics I — 파동함수, 1차원 퍼텐셜, 조화진동자, 산란과 수소 원자를 강의·문제 세트로 학습합니다.
  3. MIT OpenCourseWare, Quantum Physics II — 양자 동역학, 두 상태 계, 각운동량·스핀, 동일입자 형식의 학부 후반부 기준입니다.
  4. Griffiths & Schroeter, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed. — 파동함수부터 대칭성·근사법·산란·양자 동역학까지 이어지는 학부 표준 목차입니다.
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