순수·혼합상태, partial trace, reduced density matrix, entanglement entropy와 Bell 상관을 계산합니다.

학부 양자역학 I·II · PART 8 · 산란·얽힘·다체계로02 / 03

전체 두 입자 상태를 완벽히 알아도 한 입자만 보면 50:50 혼합처럼 보일 수 있습니다.

무지에서 생긴 통계적 혼합과 양자얽힘으로 생긴 부분계 혼합을 어떻게 구분할까요?

이번 글의 답상태를 ρ로 표현하고 Trρ²와 전체·부분계 관계를 봅니다. 얽힌 전체 순수상태는 TrρAB²=1이지만 partial trace한 ρA는 TrρA²<1이며 그 혼합은 국소정보 부족으로 없앨 수 없습니다.

01직관부터 완전 전개 계산까지

QUANTUM MECHANICS, FROM ZERO

밀도행렬·얽힘: 기호를 외우기 전에 질문부터 세우기

ket 하나는 완전히 준비된 순수상태만 표현합니다. 실제 실험은 여러 준비의 확률혼합, 환경과 얽힌 부분계, 열상태를 다뤄야 하므로 밀도행렬이 필요합니다. 얽힘은 단순히 ‘강한 상관’이 아니라 곱상태 확률혼합으로 만들 수 없는 구조입니다.

BEFORE YOU START

이 글을 읽기 전에 확인할 세 가지

01

확률전류와 경계조건

02

각운동량 부분파

03

동일입자의 대칭성

CORE CONCEPT

혼합상태

서로 다른 순수상태가 고전확률로 준비되거나 환경을 추적해 얻는 density operator 상태입니다.

CORE CONCEPT

부분추적

합성계에서 관측하지 않는 부분계의 기저상태를 합산해 reduced density matrix를 만드는 연산입니다.

CORE CONCEPT

얽힘

합성계 상태가 부분계 상태들의 곱이나 그 고전확률 혼합으로 표현되지 않는 양자상관입니다.

CONCEPT ROUTE

관찰에서 식과 예측으로 가는 흐름

각 화살표는 단순한 목차가 아니라 다음 단계가 왜 필요한지를 보여줍니다.

01합성상태

AB

02density operator

순수·혼합

03부분추적

ρA

04entropy·얽힘

비국소 상관

$$ \rho=\sum_i p_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|,\qquad \rho_A=\operatorname{Tr}_B\rho_{AB},\qquad S(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\ln\rho) $$

DERIVE THE EQUATION

핵심 식을 네 단계로 읽고 유도합니다

$$ \rho=\sum_i p_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|,\qquad \rho_A=\operatorname{Tr}_B\rho_{AB},\qquad S(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\ln\rho) $$
01

순수 ensemble 평균 ⟨A⟩=Σipi⟨ψi|A|ψi⟩를 trace cyclicity로 Tr(ρA)로 바꿉니다.

02

AB 계에서 A에만 작용하는 관측량의 기대값 TrAB[ρAB(A⊗I)]이 TrA(ρAA)가 되도록 ρA=TrBρAB를 정의합니다.

03

Schmidt decomposition |Ψ⟩=Σ√λi|ai⟩|bi⟩에서 ρA=Σλi|ai⟩⟨ai|를 얻습니다.

04

ρA 고유값 λi로 purity TrρA²=Σλi²와 entropy −Σλilnλi를 계산합니다.

THREE WORKED PROBLEMS

대입에서 끝내지 않고 결과의 뜻까지 확인합니다

각 예제는 식 세우기 → 계산 → 단위·극한 점검 → 물리적 해석의 순서로 읽으세요.

01

Bell singlet의 reduced state

$$ \begin{aligned}|\Psi^-\rangle&=\frac{|01\rangle-|10\rangle}{\sqrt2}\\\rho_{AB}&=|\Psi^-\rangle\langle\Psi^-|\\\rho_A&=\operatorname{Tr}_B\rho_{AB}=\frac12\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\frac I2\end{aligned} $$

전체는 순수하지만 한 qubit만 보면 완전혼합입니다. 이는 실제로 어느 순수상태인지 모르는 고전무지와 국소적으로 구별되지 않지만 전체상관 측정에서 차이가 납니다.

02

purity와 entropy

$$ \begin{aligned}\operatorname{Tr}\rho_A^2&=\operatorname{Tr}\left(\frac{I}{2}\right)^2=\frac12\\S(\rho_A)&=-2\left(\frac12\ln\frac12\right)=\ln2\end{aligned} $$

2차원 부분계의 최대 entropy입니다. 반면 전체 ρAB는 projector라 purity 1, entropy 0입니다.

03

부분얽힘 상태

$$ \begin{aligned}|\psi\rangle&=\sqrt{0.9}|00\rangle+\sqrt{0.1}|11\rangle\\\rho_A&=0.9|0\rangle\langle0|+0.1|1\rangle\langle1|\\S_A&=-0.9\ln0.9-0.1\ln0.1=0.325\end{aligned} $$

Schmidt 계수가 같지 않아 최대얽힘은 아니지만 entropy가 0보다 크므로 곱상태도 아닙니다. 계수 하나가 1이 되면 entropy는 0으로 사라집니다.

스스로 확인하기 · 무지에서 생긴 통계적 혼합과 양자얽힘으로 생긴 부분계 혼합을 어떻게 구분할까요?

상태를 ρ로 표현하고 Trρ²와 전체·부분계 관계를 봅니다. 얽힌 전체 순수상태는 TrρAB²=1이지만 partial trace한 ρA는 TrρA²<1이며 그 혼합은 국소정보 부족으로 없앨 수 없습니다.

02문제와 물리적 직관

ket 하나는 완전히 준비된 순수상태만 표현합니다. 실제 실험은 여러 준비의 확률혼합, 환경과 얽힌 부분계, 열상태를 다뤄야 하므로 밀도행렬이 필요합니다. 얽힘은 단순히 ‘강한 상관’이 아니라 곱상태 확률혼합으로 만들 수 없는 구조입니다.

먼저 구분할 세 가지 개념
  • 혼합상태 — 서로 다른 순수상태가 고전확률로 준비되거나 환경을 추적해 얻는 density operator 상태입니다.
  • 부분추적 — 합성계에서 관측하지 않는 부분계의 기저상태를 합산해 reduced density matrix를 만드는 연산입니다.
  • 얽힘 — 합성계 상태가 부분계 상태들의 곱이나 그 고전확률 혼합으로 표현되지 않는 양자상관입니다.

03수학적 모형과 핵심 방정식

ρ=Σipi|ψi⟩⟨ψi|는 Hermitian, positive, Trρ=1입니다. 기대값은 Tr(ρA), unitary 진화는 iℏρ̇=[H,ρ]입니다. 합성계에서 ρA=TrBρAB이고 von Neumann entropy S=−Trρlnρ가 순수 bipartite 얽힘을 정량화합니다.

$$ \rho=\sum_i p_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|,\qquad \rho_A=\operatorname{Tr}_B\rho_{AB},\qquad S(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\ln\rho) $$
부분추적은 접근하지 않는 자유도를 합산하고, reduced state의 entropy가 순수 bipartite 얽힘을 잽니다.

04유도와 계산 전략

공식은 외우는 대상이 아니라 가정과 정의에서 따라 나오는 결과입니다. 아래 순서를 따라 각 항의 출처와 계산 조건을 확인합니다.

식을 전개하는 네 단계
  • 순수 ensemble 평균 ⟨A⟩=Σipi⟨ψi|A|ψi⟩를 trace cyclicity로 Tr(ρA)로 바꿉니다.
  • AB 계에서 A에만 작용하는 관측량의 기대값 TrAB[ρAB(A⊗I)]이 TrA(ρAA)가 되도록 ρA=TrBρAB를 정의합니다.
  • Schmidt decomposition |Ψ⟩=Σ√λi|ai⟩|bi⟩에서 ρA=Σλi|ai⟩⟨ai|를 얻습니다.
  • ρA 고유값 λi로 purity TrρA²=Σλi²와 entropy −Σλilnλi를 계산합니다.

05적용 범위·한계·다음 연결

혼합상태의 entropy는 열적 무지와 얽힘을 모두 포함하므로 전체가 혼합이면 reduced entropy만으로 entanglement를 측정할 수 없습니다. negativity·concurrence 같은 별도 척도가 필요합니다.

다음 과목과 연구로 이어지는 연결
  • 열평형 ρ=e^{-βH}/Z는 양자통계역학의 출발점입니다.
  • decoherence는 계가 환경과 얽혀 국소 interference가 사라지는 과정입니다.
  • 전자구조의 one-body reduced density matrix와 전자밀도가 DFT·many-body theory로 이어집니다.

06이 글의 용어 사전

본문을 읽다가 “그래서 이 말이 정확히 뭐지?”라는 질문이 생기면 여기에서 다시 확인할 수 있습니다.

혼합상태mixed state
서로 다른 순수상태가 고전확률로 준비되거나 환경을 추적해 얻는 density operator 상태입니다.
부분추적partial trace
합성계에서 관측하지 않는 부분계의 기저상태를 합산해 reduced density matrix를 만드는 연산입니다.
얽힘entanglement
합성계 상태가 부분계 상태들의 곱이나 그 고전확률 혼합으로 표현되지 않는 양자상관입니다.
상태벡터state vector
한 양자계에서 가능한 모든 측정의 확률 정보를 담는 Hilbert 공간의 벡터입니다.
Hamiltonian
계의 에너지와 시간발전을 생성하는 Hermitian 연산자입니다.
중첩superposition
둘 이상의 허용 상태를 복소 계수로 선형 결합해 새로운 상태를 만드는 성질입니다.

07참고자료와 더 읽을거리

  1. KAIST 물리학과 교과과정 — PH301·PH302 양자역학 I·II와 수리물리학·고전역학의 공식 학부 교과 흐름을 확인합니다.
  2. MIT OpenCourseWare, Quantum Physics I — 파동함수, 1차원 퍼텐셜, 조화진동자, 산란과 수소 원자를 강의·문제 세트로 학습합니다.
  3. MIT OpenCourseWare, Quantum Physics II — 양자 동역학, 두 상태 계, 각운동량·스핀, 동일입자 형식의 학부 후반부 기준입니다.
  4. Griffiths & Schroeter, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed. — 파동함수부터 대칭성·근사법·산란·양자 동역학까지 이어지는 학부 표준 목차입니다.
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