trial state의 에너지 상한과 국소 파수의 준고전 전개를 이용해 바닥에너지·터널링·양자화 조건을 계산합니다.

학부 양자역학 I·II · PART 7 · 동일입자와 근사법03 / 03

정확한 고유함수를 몰라도 좋은 trial function을 고르면 바닥에너지를 위에서 누르고, 천천히 변하는 퍼텐셜에서는 위상적분으로 준위를 찾을 수 있습니다.

섭동의 작은 parameter가 없을 때도 근사해를 만들 수 있을까요?

이번 글의 답변분법은 정규화된 임의 상태의 에너지 기대값이 E0 이상이라는 원리를 사용하고, WKB는 파장이 퍼텐셜 변화길이보다 짧다는 국소 준고전 조건을 사용합니다. 두 방법의 가정과 오차구조는 다릅니다.

01직관부터 완전 전개 계산까지

QUANTUM MECHANICS, FROM ZERO

변분·WKB: 기호를 외우기 전에 질문부터 세우기

근사법은 ‘정답 비슷한 값’을 만드는 요령이 아니라 무엇을 보장하는지 아는 도구입니다. 변분에너지는 항상 바닥에너지의 상한이지만 trial family에 의존하고, WKB는 turning point를 제외한 완만한 영역에서 위상과 진폭을 체계적으로 전개합니다.

BEFORE YOU START

이 글을 읽기 전에 확인할 세 가지

01

텐서곱과 스핀

02

수소 원자 상태

03

정상상태 섭동의 선형대수

CORE CONCEPT

trial function

경계조건과 대칭을 만족하도록 선택하고 parameter를 최적화하는 변분 후보상태입니다.

CORE CONCEPT

turning point

E=V(x)라 고전운동량 p(x)가 0이 되어 WKB 근사가 직접 깨지는 위치입니다.

CORE CONCEPT

준고전 근사

작용의 변화가 ℏ보다 커 파장에 비해 배경이 천천히 변할 때의 전개입니다.

CONCEPT ROUTE

관찰에서 식과 예측으로 가는 흐름

각 화살표는 단순한 목차가 아니라 다음 단계가 왜 필요한지를 보여줍니다.

01근사 가정

상한 또는 완만함

02trial·국소파수

φ(α)·p(x)

03최적화·위상적분

min E·∫pdx

04오차 검증

범위 확인

$$ E_0\le\frac{\langle\phi|H|\phi\rangle}{\langle\phi|\phi\rangle},\qquad \psi_{\mathrm{WKB}}\approx\frac{C}{\sqrt{p(x)}}e^{\pm\frac{i}{\hbar}\int^x p(x')dx'},\qquad \int_{x_1}^{x_2}p\,dx=\left(n+\frac12\right)\pi\hbar $$

DERIVE THE EQUATION

핵심 식을 네 단계로 읽고 유도합니다

$$ E_0\le\frac{\langle\phi|H|\phi\rangle}{\langle\phi|\phi\rangle},\qquad \psi_{\mathrm{WKB}}\approx\frac{C}{\sqrt{p(x)}}e^{\pm\frac{i}{\hbar}\int^x p(x')dx'},\qquad \int_{x_1}^{x_2}p\,dx=\left(n+\frac12\right)\pi\hbar $$
01

trial state를 정확한 고유기저에 |φ⟩=Σcn|n⟩로 전개해 E[φ]=Σ|cn|²En/Σ|cn|²≥E0를 증명합니다.

02

trial parameter로 E[φ]를 미분해 stationary minimum을 찾고 대칭·virial theorem으로 검산합니다.

03

ψ=Ae^{iS/ℏ}를 슈뢰딩거 방정식에 넣고 ℏ 차수로 전개해 leading order S′=±p와 A∝1/√p를 얻습니다.

04

turning point connection formula로 두 감쇠꼬리를 연결해 각 turning point의 π/4 위상과 (n+1/2) 양자화조건을 얻습니다.

THREE WORKED PROBLEMS

대입에서 끝내지 않고 결과의 뜻까지 확인합니다

각 예제는 식 세우기 → 계산 → 단위·극한 점검 → 물리적 해석의 순서로 읽으세요.

01

조화진동자 Gaussian 변분

$$ \begin{aligned}\phi_\alpha(x)&=\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{1/4}e^{-\alpha x^2/2}\\E(\alpha)&=\frac{\hbar^2\alpha}{4m}+\frac{m\omega^2}{4\alpha}\\\frac{dE}{d\alpha}=0&\Rightarrow\alpha=\frac{m\omega}{\hbar},\quad E_{\min}=\frac{\hbar\omega}{2}\end{aligned} $$

trial family가 정확한 바닥상태 Gaussian을 포함하므로 상한이 정확한 값에 도달합니다. kinetic과 potential 항의 균형도 각각 ℏω/4입니다.

02

수소형 trial로 Coulomb 바닥에너지

$$ \begin{aligned}\phi_\alpha(r)&=\sqrt{\frac{\alpha^3}{\pi}}e^{-\alpha r}\\E(\alpha)&=\frac{\hbar^2\alpha^2}{2\mu}-\frac{e^2\alpha}{4\pi\epsilon_0}\\\alpha_*&=\frac{1}{a_0},\quad E_{\min}=-13.6\ \mathrm{eV}\end{aligned} $$

이 family도 정확한 1s를 포함해 정확한 결과를 냅니다. 복잡한 다전자 계에서는 orbital exponent를 조절하는 같은 원리가 근사 바닥상태를 제공합니다.

03

WKB 조화진동자 양자화

$$ \begin{aligned}\int_{-x_0}^{x_0}\sqrt{2m\left(E-\frac12m\omega^2x^2\right)}dx&=\frac{\pi E}{\omega}\\\frac{\pi E}{\omega}&=\left(n+\frac12\right)\pi\hbar\\E_n&=\hbar\omega\left(n+\frac12\right)\end{aligned} $$

조화진동자에서는 WKB 양자화가 우연히 모든 n에 대해 정확합니다. 일반 퍼텐셜에서는 큰 n에서 점점 정확해집니다.

스스로 확인하기 · 섭동의 작은 parameter가 없을 때도 근사해를 만들 수 있을까요?

변분법은 정규화된 임의 상태의 에너지 기대값이 E0 이상이라는 원리를 사용하고, WKB는 파장이 퍼텐셜 변화길이보다 짧다는 국소 준고전 조건을 사용합니다. 두 방법의 가정과 오차구조는 다릅니다.

02문제와 물리적 직관

근사법은 ‘정답 비슷한 값’을 만드는 요령이 아니라 무엇을 보장하는지 아는 도구입니다. 변분에너지는 항상 바닥에너지의 상한이지만 trial family에 의존하고, WKB는 turning point를 제외한 완만한 영역에서 위상과 진폭을 체계적으로 전개합니다.

먼저 구분할 세 가지 개념
  • trial function — 경계조건과 대칭을 만족하도록 선택하고 parameter를 최적화하는 변분 후보상태입니다.
  • turning point — E=V(x)라 고전운동량 p(x)가 0이 되어 WKB 근사가 직접 깨지는 위치입니다.
  • 준고전 근사 — 작용의 변화가 ℏ보다 커 파장에 비해 배경이 천천히 변할 때의 전개입니다.

03수학적 모형과 핵심 방정식

trial |φ(α)⟩에 대해 E(α)=⟨φ|H|φ⟩/⟨φ|φ⟩≥E0이며 α를 최소화합니다. WKB에서는 ψ≈C/√p(x) exp[±(i/ℏ)∫pdx], p=√[2m(E−V)]이고 두 turning point 사이 양자화는 ∮pdx=(n+1/2)h입니다.

$$ E_0\le\frac{\langle\phi|H|\phi\rangle}{\langle\phi|\phi\rangle},\qquad \psi_{\mathrm{WKB}}\approx\frac{C}{\sqrt{p(x)}}e^{\pm\frac{i}{\hbar}\int^x p(x')dx'},\qquad \int_{x_1}^{x_2}p\,dx=\left(n+\frac12\right)\pi\hbar $$
변분법은 전역 에너지 상한, WKB는 국소 위상 누적을 이용합니다.

04유도와 계산 전략

공식은 외우는 대상이 아니라 가정과 정의에서 따라 나오는 결과입니다. 아래 순서를 따라 각 항의 출처와 계산 조건을 확인합니다.

식을 전개하는 네 단계
  • trial state를 정확한 고유기저에 |φ⟩=Σcn|n⟩로 전개해 E[φ]=Σ|cn|²En/Σ|cn|²≥E0를 증명합니다.
  • trial parameter로 E[φ]를 미분해 stationary minimum을 찾고 대칭·virial theorem으로 검산합니다.
  • ψ=Ae^{iS/ℏ}를 슈뢰딩거 방정식에 넣고 ℏ 차수로 전개해 leading order S′=±p와 A∝1/√p를 얻습니다.
  • turning point connection formula로 두 감쇠꼬리를 연결해 각 turning point의 π/4 위상과 (n+1/2) 양자화조건을 얻습니다.

05적용 범위·한계·다음 연결

변분법은 바닥에너지 상한을 보장하지만 관측량과 들뜬상태에는 별도 직교조건이 필요합니다. WKB는 turning point·급격한 장벽·낮은 양자수에서 connection formula나 uniform approximation 없이 사용할 수 없습니다.

다음 과목과 연구로 이어지는 연결
  • Hartree–Fock와 Kohn–Sham 방정식은 에너지 functional의 constrained variation에서 나옵니다.
  • WKB의 금지영역 적분은 알파붕괴와 화학반응 터널링 지수를 줍니다.
  • 고급 과정에서 adiabatic·Berry 위상과 path integral saddle-point 근사로 연결됩니다.

06이 글의 용어 사전

본문을 읽다가 “그래서 이 말이 정확히 뭐지?”라는 질문이 생기면 여기에서 다시 확인할 수 있습니다.

trial functiontrial function
경계조건과 대칭을 만족하도록 선택하고 parameter를 최적화하는 변분 후보상태입니다.
turning pointturning point
E=V(x)라 고전운동량 p(x)가 0이 되어 WKB 근사가 직접 깨지는 위치입니다.
준고전 근사semiclassical approximation
작용의 변화가 ℏ보다 커 파장에 비해 배경이 천천히 변할 때의 전개입니다.
상태벡터state vector
한 양자계에서 가능한 모든 측정의 확률 정보를 담는 Hilbert 공간의 벡터입니다.
Hamiltonian
계의 에너지와 시간발전을 생성하는 Hermitian 연산자입니다.
중첩superposition
둘 이상의 허용 상태를 복소 계수로 선형 결합해 새로운 상태를 만드는 성질입니다.

07참고자료와 더 읽을거리

  1. KAIST 물리학과 교과과정 — PH301·PH302 양자역학 I·II와 수리물리학·고전역학의 공식 학부 교과 흐름을 확인합니다.
  2. MIT OpenCourseWare, Quantum Physics I — 파동함수, 1차원 퍼텐셜, 조화진동자, 산란과 수소 원자를 강의·문제 세트로 학습합니다.
  3. MIT OpenCourseWare, Quantum Physics II — 양자 동역학, 두 상태 계, 각운동량·스핀, 동일입자 형식의 학부 후반부 기준입니다.
  4. Griffiths & Schroeter, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed. — 파동함수부터 대칭성·근사법·산란·양자 동역학까지 이어지는 학부 표준 목차입니다.
NEXT QUANTUM NOTE3차원 산란: 단면적·Born 근사·부분파 →