비축퇴·축퇴 Rayleigh–Schrödinger 섭동이론을 유도하고 Stark·Zeeman·두 상태 혼합 문제를 계산합니다.
정확히 풀 수 있는 Hamiltonian H0에 약한 전기장·자기장·비조화성이 추가되면 전체 문제는 더 이상 정확히 풀리지 않습니다.
작은 상호작용의 효과를 전체 방정식을 다시 풀지 않고 어떻게 구할까요?
이번 글의 답에너지와 상태를 섭동세기 λ의 급수로 전개하고 같은 차수끼리 맞춥니다. 축퇴가 없으면 1차 에너지는 ⟨n|V|n⟩이고, 축퇴가 있으면 먼저 축퇴부분공간에서 V를 대각화해야 합니다.
01직관부터 완전 전개 계산까지
섭동이론: 기호를 외우기 전에 질문부터 세우기
실제 Hamiltonian은 정확히 풀 수 있는 몇 개 모형보다 훨씬 복잡합니다. 섭동이론은 작은 항의 영향이 매끄럽게 이어진다는 가정 아래 에너지·상태 변화를 차수별로 계산합니다. 분모가 작아질 때 왜 실패하는지도 함께 이해해야 안전하게 사용할 수 있습니다.
이 글을 읽기 전에 확인할 세 가지
텐서곱과 스핀
수소 원자 상태
정상상태 섭동의 선형대수
섭동
정확히 풀 수 있는 H0에 비해 효과가 작아 급수전개로 다루는 추가 Hamiltonian V입니다.
축퇴 섭동이론
같은 무섭동 에너지의 부분공간에서 V를 먼저 대각화하는 방법입니다.
avoided crossing
같은 대칭을 가진 두 준위가 결합할 때 교차하지 않고 최소간격을 남기는 현상입니다.
관찰에서 식과 예측으로 가는 흐름
각 화살표는 단순한 목차가 아니라 다음 단계가 왜 필요한지를 보여줍니다.
기준문제
λV
분모·행렬원소
1차·2차
$$ E_n^{(1)}=\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle,\qquad E_n^{(2)}=\sum_{m\ne n}\frac{|\langle m^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}} $$
핵심 식을 네 단계로 읽고 유도합니다
H|n⟩=En|n⟩에 λ 급수를 대입하고 λ⁰,λ¹,λ² 차수별 방정식을 모읍니다.
1차 방정식에 ⟨n0|를 곱해 H0의 Hermiticity와 직교성을 사용하면 En1=Vnn을 얻습니다.
1차 상태를 m≠n 기저에 투영해 |n1⟩=Σm≠n Vmn/(En0−Em0)|m0⟩을 얻습니다.
축퇴이면 분모가 0이므로 PVP의 고유벡터를 새로운 zeroth-order 기저로 선택한 뒤 비축퇴 공식을 적용합니다.
대입에서 끝내지 않고 결과의 뜻까지 확인합니다
각 예제는 식 세우기 → 계산 → 단위·극한 점검 → 물리적 해석의 순서로 읽으세요.
조화진동자에 λx⁴ 비조화 섭동의 바닥상태 1차 보정
x⁴가 양의 stiffening 항이면 에너지가 올라갑니다. Gaussian의 4차 moment 3σ⁴가 핵심이며 λx⁴가 ℏω보다 충분히 작아야 합니다.
두 축퇴상태의 결합분열
원래 basis state 각각의 대각 기대값은 0이지만 그 값을 그대로 1차보정으로 쓰면 분열을 놓칩니다. 축퇴공간 대각화가 필수입니다.
비축퇴 바닥상태의 2차 보정 부호
바닥상태보다 낮은 무섭동 상태가 없으므로 모든 분모가 음수이고 2차 에너지는 항상 내려갑니다. 계산값의 부호를 빠르게 검산하는 강력한 기준입니다.
스스로 확인하기 · 작은 상호작용의 효과를 전체 방정식을 다시 풀지 않고 어떻게 구할까요?
에너지와 상태를 섭동세기 λ의 급수로 전개하고 같은 차수끼리 맞춥니다. 축퇴가 없으면 1차 에너지는 ⟨n|V|n⟩이고, 축퇴가 있으면 먼저 축퇴부분공간에서 V를 대각화해야 합니다.
02문제와 물리적 직관
실제 Hamiltonian은 정확히 풀 수 있는 몇 개 모형보다 훨씬 복잡합니다. 섭동이론은 작은 항의 영향이 매끄럽게 이어진다는 가정 아래 에너지·상태 변화를 차수별로 계산합니다. 분모가 작아질 때 왜 실패하는지도 함께 이해해야 안전하게 사용할 수 있습니다.
- 섭동 — 정확히 풀 수 있는 H0에 비해 효과가 작아 급수전개로 다루는 추가 Hamiltonian V입니다.
- 축퇴 섭동이론 — 같은 무섭동 에너지의 부분공간에서 V를 먼저 대각화하는 방법입니다.
- avoided crossing — 같은 대칭을 가진 두 준위가 결합할 때 교차하지 않고 최소간격을 남기는 현상입니다.
03수학적 모형과 핵심 방정식
H=H0+λV, En=En0+λEn1+λ²En2+…, |n⟩=|n0⟩+λ|n1⟩+…로 둡니다. intermediate normalization ⟨n0|n⟩=1을 선택하면 En1=Vnn, En2=Σm≠n|Vmn|²/(En0−Em0)입니다.
04유도와 계산 전략
공식은 외우는 대상이 아니라 가정과 정의에서 따라 나오는 결과입니다. 아래 순서를 따라 각 항의 출처와 계산 조건을 확인합니다.
- H|n⟩=En|n⟩에 λ 급수를 대입하고 λ⁰,λ¹,λ² 차수별 방정식을 모읍니다.
- 1차 방정식에 ⟨n0|를 곱해 H0의 Hermiticity와 직교성을 사용하면 En1=Vnn을 얻습니다.
- 1차 상태를 m≠n 기저에 투영해 |n1⟩=Σm≠n Vmn/(En0−Em0)|m0⟩을 얻습니다.
- 축퇴이면 분모가 0이므로 PVP의 고유벡터를 새로운 zeroth-order 기저로 선택한 뒤 비축퇴 공식을 적용합니다.
05적용 범위·한계·다음 연결
섭동행렬원이 관련 준위간격보다 작지 않거나 급수가 비수렴·점근적이면 낮은 차수만으로 신뢰할 수 없습니다. near-degeneracy에서는 해당 상태들을 묶어 정확히 대각화하는 effective Hamiltonian이 필요합니다.
- Stark·Zeeman·spin–orbit·결정장 분열을 공통 형식으로 계산합니다.
- DFT의 linear response와 phonon perturbation도 작은 외부변화에 대한 응답입니다.
- 고급 과정에서 시간의존 섭동·adiabatic 전개·resolvent 방법으로 확장합니다.
06이 글의 용어 사전
본문을 읽다가 “그래서 이 말이 정확히 뭐지?”라는 질문이 생기면 여기에서 다시 확인할 수 있습니다.
- 섭동perturbation
- 정확히 풀 수 있는 H0에 비해 효과가 작아 급수전개로 다루는 추가 Hamiltonian V입니다.
- 축퇴 섭동이론degenerate perturbation theory
- 같은 무섭동 에너지의 부분공간에서 V를 먼저 대각화하는 방법입니다.
- avoided crossingavoided crossing
- 같은 대칭을 가진 두 준위가 결합할 때 교차하지 않고 최소간격을 남기는 현상입니다.
- 상태벡터state vector
- 한 양자계에서 가능한 모든 측정의 확률 정보를 담는 Hilbert 공간의 벡터입니다.
- Hamiltonian
- 계의 에너지와 시간발전을 생성하는 Hermitian 연산자입니다.
- 중첩superposition
- 둘 이상의 허용 상태를 복소 계수로 선형 결합해 새로운 상태를 만드는 성질입니다.
07참고자료와 더 읽을거리
- KAIST 물리학과 교과과정 — PH301·PH302 양자역학 I·II와 수리물리학·고전역학의 공식 학부 교과 흐름을 확인합니다.
- MIT OpenCourseWare, Quantum Physics I — 파동함수, 1차원 퍼텐셜, 조화진동자, 산란과 수소 원자를 강의·문제 세트로 학습합니다.
- MIT OpenCourseWare, Quantum Physics II — 양자 동역학, 두 상태 계, 각운동량·스핀, 동일입자 형식의 학부 후반부 기준입니다.
- Griffiths & Schroeter, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed. — 파동함수부터 대칭성·근사법·산란·양자 동역학까지 이어지는 학부 표준 목차입니다.