평면파의 분산관계와 Gaussian 파동묶음의 군속도·분산을 계산해 양자입자의 이동을 이해합니다.

학부 양자역학 I·II · PART 3 · 1차원 파동역학01 / 03

운동량이 정확한 평면파는 공간 전체에 퍼져 있고, 위치를 좁힌 파동묶음은 시간이 지나며 넓어집니다.

입자의 위치와 운동량을 모두 가진 ‘움직이는 파동’은 어떻게 만들까요?

이번 글의 답여러 운동량 평면파를 Fourier 중첩해 파동묶음을 만듭니다. 묶음 중심은 군속도 dω/dk=p/m로 움직이지만 서로 다른 k 성분의 위상속도가 달라 자유공간에서도 폭이 증가합니다.

01직관부터 완전 전개 계산까지

QUANTUM MECHANICS, FROM ZERO

자유입자: 기호를 외우기 전에 질문부터 세우기

e^{ikx} 하나는 운동량 고유상태지만 어느 위치에도 같은 확률을 주므로 입자 하나가 어디쯤 있는지 표현하지 못합니다. 실제 빔과 입자는 유한한 운동량 폭을 가진 파동묶음입니다. 이 글에서는 ‘중심은 고전적으로 이동하지만 폭은 양자적으로 퍼진다’는 문장을 식으로 확인합니다.

BEFORE YOU START

이 글을 읽기 전에 확인할 세 가지

01

2계 상미분방정식

02

연속성과 경계조건

03

상태 정규화

CORE CONCEPT

분산관계

파동의 각진동수 ω가 파수 k에 따라 어떻게 달라지는지 나타내는 관계입니다.

CORE CONCEPT

군속도

여러 파수 성분의 포락선, 즉 파동묶음 중심이 이동하는 속도 dω/dk입니다.

CORE CONCEPT

파동묶음

유한한 위치폭을 만들기 위해 여러 운동량 고유상태를 중첩한 상태입니다.

CONCEPT ROUTE

관찰에서 식과 예측으로 가는 흐름

각 화살표는 단순한 목차가 아니라 다음 단계가 왜 필요한지를 보여줍니다.

01평면파

운동량 고유상태

02Fourier 중첩

국소화

03군속도

중심 이동

04시간 분산

폭 증가

$$ E=\frac{\hbar^2k^2}{2m},\qquad v_g=\frac{d\omega}{dk}=\frac{\hbar k}{m},\qquad \sigma_x(t)=\sigma_0\sqrt{1+\left(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\right)^2} $$

DERIVE THE EQUATION

핵심 식을 네 단계로 읽고 유도합니다

$$ E=\frac{\hbar^2k^2}{2m},\qquad v_g=\frac{d\omega}{dk}=\frac{\hbar k}{m},\qquad \sigma_x(t)=\sigma_0\sqrt{1+\left(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\right)^2} $$
01

평면파 ψ=e^{i(kx−ωt)}를 자유입자 슈뢰딩거 방정식에 대입해 ℏω=ℏ²k²/2m을 얻습니다.

02

k0 주변 성분의 위상을 Taylor 전개해 ω(k)≈ω0+ω′(k0)(k−k0)+ω″(k0)(k−k0)²/2로 씁니다.

03

선형항은 포락선을 x=vgt로 이동시키고, 이차항 ω″=ℏ/m은 서로 다른 k 성분을 퍼뜨립니다.

04

Gaussian Fourier 적분을 수행해 시간에 따른 복소 폭을 구하고 절댓값 제곱에서 σx(t) 식을 읽습니다.

THREE WORKED PROBLEMS

대입에서 끝내지 않고 결과의 뜻까지 확인합니다

각 예제는 식 세우기 → 계산 → 단위·극한 점검 → 물리적 해석의 순서로 읽으세요.

01

전자 파동묶음의 군속도

$$ \begin{aligned}k_0&=5.00\times10^9\ \mathrm{m^{-1}}\\p_0&=\hbar k_0=5.27\times10^{-25}\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\\v_g&=\frac{p_0}{m_e}=5.79\times10^5\ \mathrm{m\,s^{-1}}\end{aligned} $$

비상대론적 속도는 빛의 속도의 약 0.19%이므로 E=p²/2m 근사가 충분합니다. 파동의 마루가 아닌 확률 포락선의 중심이 이 속도로 이동합니다.

02

0.10 nm 전자 묶음이 퍼지는 시간

$$ \begin{aligned}t_s&=\frac{2m_e\sigma_0^2}{\hbar}=\frac{2(9.11\times10^{-31})(1.0\times10^{-10})^2}{1.055\times10^{-34}}\\&=1.73\times10^{-16}\ \mathrm s\\\sigma_x(t_s)&=\sqrt2\,\sigma_0=0.141\ \mathrm{nm}\end{aligned} $$

원자 크기로 국소화된 전자 묶음은 0.17 fs 정도만 지나도 폭이 √2배가 됩니다. 반면 무거운 원자는 같은 폭에서 훨씬 천천히 퍼져 고전 궤적 근사가 좋아집니다.

03

양성자와 전자의 분산 비교

$$ \begin{aligned}\frac{t_{s,p}}{t_{s,e}}&=\frac{m_p}{m_e}=1836\\t_{s,p}&=3.18\times10^{-13}\ \mathrm s\end{aligned} $$

같은 초기 공간폭이면 퍼짐 시간은 질량에 비례합니다. Born–Oppenheimer 근사에서 무거운 핵이 전자보다 느리게 움직인다는 직관과 연결됩니다.

스스로 확인하기 · 입자의 위치와 운동량을 모두 가진 ‘움직이는 파동’은 어떻게 만들까요?

여러 운동량 평면파를 Fourier 중첩해 파동묶음을 만듭니다. 묶음 중심은 군속도 dω/dk=p/m로 움직이지만 서로 다른 k 성분의 위상속도가 달라 자유공간에서도 폭이 증가합니다.

02문제와 물리적 직관

e^{ikx} 하나는 운동량 고유상태지만 어느 위치에도 같은 확률을 주므로 입자 하나가 어디쯤 있는지 표현하지 못합니다. 실제 빔과 입자는 유한한 운동량 폭을 가진 파동묶음입니다. 이 글에서는 ‘중심은 고전적으로 이동하지만 폭은 양자적으로 퍼진다’는 문장을 식으로 확인합니다.

먼저 구분할 세 가지 개념
  • 분산관계 — 파동의 각진동수 ω가 파수 k에 따라 어떻게 달라지는지 나타내는 관계입니다.
  • 군속도 — 여러 파수 성분의 포락선, 즉 파동묶음 중심이 이동하는 속도 dω/dk입니다.
  • 파동묶음 — 유한한 위치폭을 만들기 위해 여러 운동량 고유상태를 중첩한 상태입니다.

03수학적 모형과 핵심 방정식

자유입자 Hamiltonian p²/2m의 분산관계는 E=ℏ²k²/2m, ω=ℏk²/2m입니다. 위상속도 ω/k와 군속도 dω/dk가 다르며, Gaussian의 위치폭은 σx(t)=σ0√[1+(ℏt/2mσ0²)²]로 증가합니다.

$$ E=\frac{\hbar^2k^2}{2m},\qquad v_g=\frac{d\omega}{dk}=\frac{\hbar k}{m},\qquad \sigma_x(t)=\sigma_0\sqrt{1+\left(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\right)^2} $$
중심의 속도는 고전식 p/m과 같지만 폭의 시간증가는 자유입자 파동함수의 양자적 분산입니다.

04유도와 계산 전략

공식은 외우는 대상이 아니라 가정과 정의에서 따라 나오는 결과입니다. 아래 순서를 따라 각 항의 출처와 계산 조건을 확인합니다.

식을 전개하는 네 단계
  • 평면파 ψ=e^{i(kx−ωt)}를 자유입자 슈뢰딩거 방정식에 대입해 ℏω=ℏ²k²/2m을 얻습니다.
  • k0 주변 성분의 위상을 Taylor 전개해 ω(k)≈ω0+ω′(k0)(k−k0)+ω″(k0)(k−k0)²/2로 씁니다.
  • 선형항은 포락선을 x=vgt로 이동시키고, 이차항 ω″=ℏ/m은 서로 다른 k 성분을 퍼뜨립니다.
  • Gaussian Fourier 적분을 수행해 시간에 따른 복소 폭을 구하고 절댓값 제곱에서 σx(t) 식을 읽습니다.

05적용 범위·한계·다음 연결

자유입자 Gaussian은 외력이 없는 비상대론적 단일입자 모형입니다. 퍼텐셜이 있으면 묶음이 반사·분할되고, 강한 상호작용이나 측정 환경에서는 decoherence도 고려해야 합니다.

다음 과목과 연구로 이어지는 연결
  • 파동묶음이 장벽에 도달하면 Part 3의 터널링과 반사로 나뉩니다.
  • Ehrenfest 정리는 묶음 중심이 고전운동을 따르는 조건을 정량화합니다.
  • 결정에서는 E(k)의 기울기가 전자 군속도, 곡률이 유효질량을 결정합니다.

06이 글의 용어 사전

본문을 읽다가 “그래서 이 말이 정확히 뭐지?”라는 질문이 생기면 여기에서 다시 확인할 수 있습니다.

분산관계dispersion relation
파동의 각진동수 ω가 파수 k에 따라 어떻게 달라지는지 나타내는 관계입니다.
군속도group velocity
여러 파수 성분의 포락선, 즉 파동묶음 중심이 이동하는 속도 dω/dk입니다.
파동묶음wave packet
유한한 위치폭을 만들기 위해 여러 운동량 고유상태를 중첩한 상태입니다.
상태벡터state vector
한 양자계에서 가능한 모든 측정의 확률 정보를 담는 Hilbert 공간의 벡터입니다.
Hamiltonian
계의 에너지와 시간발전을 생성하는 Hermitian 연산자입니다.
중첩superposition
둘 이상의 허용 상태를 복소 계수로 선형 결합해 새로운 상태를 만드는 성질입니다.

07참고자료와 더 읽을거리

  1. KAIST 물리학과 교과과정 — PH301·PH302 양자역학 I·II와 수리물리학·고전역학의 공식 학부 교과 흐름을 확인합니다.
  2. MIT OpenCourseWare, Quantum Physics I — 파동함수, 1차원 퍼텐셜, 조화진동자, 산란과 수소 원자를 강의·문제 세트로 학습합니다.
  3. MIT OpenCourseWare, Quantum Physics II — 양자 동역학, 두 상태 계, 각운동량·스핀, 동일입자 형식의 학부 후반부 기준입니다.
  4. Griffiths & Schroeter, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed. — 파동함수부터 대칭성·근사법·산란·양자 동역학까지 이어지는 학부 표준 목차입니다.
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