Hamiltonian이 시간발전을 생성하는 이유와 연속방정식·확률전류를 유도해 정상상태와 동역학을 구분합니다.

학부 양자역학 I·II · PART 2 · 상태·연산자·측정03 / 03

파동함수는 복소 모양을 바꾸며 움직이지만 전체 공간에서 입자를 찾을 확률은 언제나 1이어야 합니다.

어떤 시간발전 법칙이 중첩과 확률을 동시에 보존할까요?

이번 글의 답Hermitian Hamiltonian이 생성하는 unitary 시간발전 iℏ∂t|ψ⟩=H|ψ⟩이 내적과 정규화를 보존합니다. 위치공간에서는 확률밀도 변화가 확률전류의 유출입과 정확히 균형을 이룹니다.

01직관부터 완전 전개 계산까지

QUANTUM MECHANICS, FROM ZERO

슈뢰딩거 방정식: 기호를 외우기 전에 질문부터 세우기

슈뢰딩거 방정식은 Newton의 운동방정식과 같은 양자역학의 동역학 법칙입니다. 다만 궤적 대신 상태벡터의 변화를 결정합니다. 식을 푸는 것만큼 중요한 질문은 이 법칙이 왜 확률을 보존하고, 시간독립 방정식이 전체 방정식에서 어떻게 나오는지입니다.

BEFORE YOU START

이 글을 읽기 전에 확인할 세 가지

01

Part 1의 복소 벡터

02

확률의 평균과 분산

03

행렬의 고유값 문제

CORE CONCEPT

unitary 시간발전

내적과 전체 확률을 보존하며 U†U=I를 만족하는 상태변환입니다.

CORE CONCEPT

정상상태

에너지 고유상태라 확률밀도가 시간에 따라 변하지 않고 전체 위상만 진화하는 상태입니다.

CORE CONCEPT

확률전류

확률밀도가 공간을 통해 흐르는 방향과 양을 나타내는 j=(ℏ/m)Im(ψ*∇ψ)입니다.

CONCEPT ROUTE

관찰에서 식과 예측으로 가는 흐름

각 화살표는 단순한 목차가 아니라 다음 단계가 왜 필요한지를 보여줍니다.

01Hamiltonian

에너지 연산자

02시간발전

unitary U(t)

03상대위상

동역학적 간섭

04확률보존

연속방정식

$$ i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V\right]\psi,\qquad \frac{\partial |\psi|^2}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf j=0 $$

DERIVE THE EQUATION

핵심 식을 네 단계로 읽고 유도합니다

$$ i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V\right]\psi,\qquad \frac{\partial |\psi|^2}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf j=0 $$
01

시간의존 방정식에 ψ(r,t)=φ(r)T(t)를 대입해 공간과 시간 항이 같은 상수 E와 같아야 함을 보입니다.

02

시간식 iℏT′=ET를 풀어 T=e^{-iEt/ℏ}, 공간식 Hφ=Eφ를 얻습니다.

03

방정식에 ψ*를 곱한 식과 복소켤레 방정식에 ψ를 곱한 식을 빼서 ∂t|ψ|²를 발산형으로 정리합니다.

04

경계에서 j가 0이거나 무한대에서 사라지면 공간적분한 연속방정식으로 d∫|ψ|²dτ/dt=0을 확인합니다.

THREE WORKED PROBLEMS

대입에서 끝내지 않고 결과의 뜻까지 확인합니다

각 예제는 식 세우기 → 계산 → 단위·극한 점검 → 물리적 해석의 순서로 읽으세요.

01

에너지 고유상태의 확률밀도

$$ \begin{aligned}\psi_n(x,t)&=\phi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar}\\|\psi_n(x,t)|^2&=|\phi_n(x)|^2|e^{-iE_nt/\hbar}|^2=|\phi_n(x)|^2\\\langle H\rangle&=E_n\end{aligned} $$

시간위상이 계속 변해도 절댓값은 1이므로 확률밀도는 정지합니다. ‘정상’은 파동함수가 변하지 않는다는 뜻이 아니라 관측 가능한 밀도가 시간독립이라는 뜻입니다.

02

두 에너지 상태 중첩의 beat

$$ \begin{aligned}|\psi(t)\rangle&=\frac1{\sqrt2}\left(e^{-iE_1t/\hbar}|1\rangle+e^{-iE_2t/\hbar}|2\rangle\right)\\\langle A\rangle_t&=\frac{A_{11}+A_{22}}2+\operatorname{Re}\!\left(A_{12}e^{-i(E_2-E_1)t/\hbar}\right)\end{aligned} $$

비대각 행렬원소 A12가 있으면 기대값이 각진동수 (E2−E1)/ℏ로 진동합니다. 스펙트럼의 전이진동수와 두 준위 계의 coherent dynamics가 여기서 나옵니다.

03

평면파의 확률전류

$$ \begin{aligned}\psi(x,t)&=Ae^{i(kx-\omega t)}\\j&=\frac\hbar m\operatorname{Im}(\psi^*\partial_x\psi)=\frac\hbar m\operatorname{Im}(ik|A|^2)\\&=\frac{\hbar k}{m}|A|^2=v|A|^2\end{aligned} $$

확률전류는 밀도 |A|²와 입자속도 p/m의 곱입니다. 산란 문제에서 반사율과 투과율은 진폭 제곱만이 아니라 입사·반사·투과 전류의 비로 정의해야 합니다.

스스로 확인하기 · 어떤 시간발전 법칙이 중첩과 확률을 동시에 보존할까요?

Hermitian Hamiltonian이 생성하는 unitary 시간발전 iℏ∂t|ψ⟩=H|ψ⟩이 내적과 정규화를 보존합니다. 위치공간에서는 확률밀도 변화가 확률전류의 유출입과 정확히 균형을 이룹니다.

02문제와 물리적 직관

슈뢰딩거 방정식은 Newton의 운동방정식과 같은 양자역학의 동역학 법칙입니다. 다만 궤적 대신 상태벡터의 변화를 결정합니다. 식을 푸는 것만큼 중요한 질문은 이 법칙이 왜 확률을 보존하고, 시간독립 방정식이 전체 방정식에서 어떻게 나오는지입니다.

먼저 구분할 세 가지 개념
  • unitary 시간발전 — 내적과 전체 확률을 보존하며 U†U=I를 만족하는 상태변환입니다.
  • 정상상태 — 에너지 고유상태라 확률밀도가 시간에 따라 변하지 않고 전체 위상만 진화하는 상태입니다.
  • 확률전류 — 확률밀도가 공간을 통해 흐르는 방향과 양을 나타내는 j=(ℏ/m)Im(ψ*∇ψ)입니다.

03수학적 모형과 핵심 방정식

시간독립 Hamiltonian에서 에너지 고유상태는 위상 e^{-iEnt/ℏ}만 얻습니다. 일반 상태는 여러 고유상태의 중첩이므로 상대위상이 시간에 따라 바뀌며 관측량이 진동합니다. 위치공간 방정식과 그 복소켤레를 조합하면 ∂ρ/∂t+∇·j=0을 얻습니다.

$$ i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V\right]\psi,\qquad \frac{\partial |\psi|^2}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf j=0 $$
첫 식은 상태의 시간발전, 둘째 식은 그 결과로 얻어지는 국소 확률보존 법칙입니다.

04유도와 계산 전략

공식은 외우는 대상이 아니라 가정과 정의에서 따라 나오는 결과입니다. 아래 순서를 따라 각 항의 출처와 계산 조건을 확인합니다.

식을 전개하는 네 단계
  • 시간의존 방정식에 ψ(r,t)=φ(r)T(t)를 대입해 공간과 시간 항이 같은 상수 E와 같아야 함을 보입니다.
  • 시간식 iℏT′=ET를 풀어 T=e^{-iEt/ℏ}, 공간식 Hφ=Eφ를 얻습니다.
  • 방정식에 ψ*를 곱한 식과 복소켤레 방정식에 ψ를 곱한 식을 빼서 ∂t|ψ|²를 발산형으로 정리합니다.
  • 경계에서 j가 0이거나 무한대에서 사라지면 공간적분한 연속방정식으로 d∫|ψ|²dτ/dt=0을 확인합니다.

05적용 범위·한계·다음 연결

비상대론적 슈뢰딩거 방정식은 입자 생성·소멸을 다루지 못하고, 스핀은 별도로 상태공간에 추가해야 합니다. 자기장이 있으면 p를 p−qA로 바꾸며 gauge 구조가 나타납니다.

다음 과목과 연구로 이어지는 연결
  • Part 3에서 정상상태 방정식을 여러 퍼텐셜에 풀고 전류로 반사·투과를 계산합니다.
  • Part 4에서 U(t)=e^{-iHt/ℏ}와 Heisenberg picture를 체계적으로 다룹니다.
  • 고급 과정의 propagator와 경로적분은 같은 시간발전을 다른 언어로 표현합니다.

06이 글의 용어 사전

본문을 읽다가 “그래서 이 말이 정확히 뭐지?”라는 질문이 생기면 여기에서 다시 확인할 수 있습니다.

unitary 시간발전unitary evolution
내적과 전체 확률을 보존하며 U†U=I를 만족하는 상태변환입니다.
정상상태stationary state
에너지 고유상태라 확률밀도가 시간에 따라 변하지 않고 전체 위상만 진화하는 상태입니다.
확률전류probability current
확률밀도가 공간을 통해 흐르는 방향과 양을 나타내는 j=(ℏ/m)Im(ψ*∇ψ)입니다.
상태벡터state vector
한 양자계에서 가능한 모든 측정의 확률 정보를 담는 Hilbert 공간의 벡터입니다.
Hamiltonian
계의 에너지와 시간발전을 생성하는 Hermitian 연산자입니다.
중첩superposition
둘 이상의 허용 상태를 복소 계수로 선형 결합해 새로운 상태를 만드는 성질입니다.

07참고자료와 더 읽을거리

  1. KAIST 물리학과 교과과정 — PH301·PH302 양자역학 I·II와 수리물리학·고전역학의 공식 학부 교과 흐름을 확인합니다.
  2. MIT OpenCourseWare, Quantum Physics I — 파동함수, 1차원 퍼텐셜, 조화진동자, 산란과 수소 원자를 강의·문제 세트로 학습합니다.
  3. MIT OpenCourseWare, Quantum Physics II — 양자 동역학, 두 상태 계, 각운동량·스핀, 동일입자 형식의 학부 후반부 기준입니다.
  4. Griffiths & Schroeter, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed. — 파동함수부터 대칭성·근사법·산란·양자 동역학까지 이어지는 학부 표준 목차입니다.
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