경계에서 파동함수와 미분을 연결하고 확률전류 비로 반사율·투과율과 터널링의 지수 민감도를 계산합니다.
고전적으로 넘을 수 없는 장벽 뒤에서도 입자가 검출되고, STM 전류는 탐침 높이 0.1 nm 변화에 크게 달라집니다.
에너지가 장벽보다 작은데 입자가 어떻게 반대편에 나타날까요?
이번 글의 답장벽 안에서 파동함수는 0이 아니라 지수적으로 감쇠하며 유한한 두께를 지나 반대편 진행파와 연결됩니다. 에너지를 빌려 넘는 것이 아니라 상태가 장벽 전체에 걸쳐 존재하는 산란 문제입니다.
01직관부터 완전 전개 계산까지
장벽과 터널링: 기호를 외우기 전에 질문부터 세우기
터널링을 ‘에너지 보존을 잠깐 어기는 입자’로 설명하면 잘못된 직관이 굳습니다. 정상 산란상태는 처음부터 같은 에너지 E를 가지며, 장벽 안에서는 운동량이 허수가 되어 진동 대신 감쇠합니다. 투과율은 파동함수 진폭과 확률전류를 연결해 구합니다.
이 글을 읽기 전에 확인할 세 가지
2계 상미분방정식
연속성과 경계조건
상태 정규화
반사율
입사 확률전류에 대한 반사 확률전류의 비 R=|jr|/ji입니다.
투과율
입사 확률전류에 대한 투과 확률전류의 비 T=jt/ji입니다.
evanescent wave
고전적 금지영역에서 공간에 따라 지수적으로 감쇠하지만 0은 아닌 파동입니다.
관찰에서 식과 예측으로 가는 흐름
각 화살표는 단순한 목차가 아니라 다음 단계가 왜 필요한지를 보여줍니다.
진행·감쇠파
ψ와 ψ′
입사·반사·투과
지수 민감도
$$ \kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar},\qquad T\simeq16\frac{E}{V_0}\left(1-\frac{E}{V_0}\right)e^{-2\kappa a},\qquad R+T=1 $$
핵심 식을 네 단계로 읽고 유도합니다
각 영역의 k²=2m(E−V)/ℏ² 부호를 확인해 진행해 또는 감쇠해를 선택합니다.
장벽 양쪽 경계에서 ψ와 ψ′ 연속조건 네 개를 세워 입사 진폭에 대한 반사·투과 진폭을 구합니다.
j=(ℏ/m)Im(ψ*ψ′)로 각 진행파의 전류를 계산하고 서로 다른 k가 있으면 T=(kt/ki)|t|²를 사용합니다.
κa≫1 극한에서 sinh(κa)≈e^{κa}/2를 적용해 지수형 근사를 얻고 R+T=1로 검산합니다.
대입에서 끝내지 않고 결과의 뜻까지 확인합니다
각 예제는 식 세우기 → 계산 → 단위·극한 점검 → 물리적 해석의 순서로 읽으세요.
전자 1 eV, 높이 5 eV, 폭 0.50 nm 장벽
약 1만 개 중 한 개 정도가 투과하는 규모입니다. 근사식은 κa≈5.1로 충분히 두꺼운 장벽이므로 적절합니다.
장벽 폭이 0.10 nm 증가할 때 STM 전류 변화
탐침이 0.10 nm 멀어지면 전류가 약 7.7분의 1로 감소합니다. 이 민감도 덕분에 STM이 원자 높이 차이를 영상화합니다.
퍼텐셜 계단 E>V0의 전류 보존
에너지가 장벽보다 커도 파수 불일치 때문에 반사가 생깁니다. 투과진폭 제곱만 쓰면 속도 차이를 놓치므로 k2/k1 전류 인자가 필수입니다.
스스로 확인하기 · 에너지가 장벽보다 작은데 입자가 어떻게 반대편에 나타날까요?
장벽 안에서 파동함수는 0이 아니라 지수적으로 감쇠하며 유한한 두께를 지나 반대편 진행파와 연결됩니다. 에너지를 빌려 넘는 것이 아니라 상태가 장벽 전체에 걸쳐 존재하는 산란 문제입니다.
02문제와 물리적 직관
터널링을 ‘에너지 보존을 잠깐 어기는 입자’로 설명하면 잘못된 직관이 굳습니다. 정상 산란상태는 처음부터 같은 에너지 E를 가지며, 장벽 안에서는 운동량이 허수가 되어 진동 대신 감쇠합니다. 투과율은 파동함수 진폭과 확률전류를 연결해 구합니다.
- 반사율 — 입사 확률전류에 대한 반사 확률전류의 비 R=|jr|/ji입니다.
- 투과율 — 입사 확률전류에 대한 투과 확률전류의 비 T=jt/ji입니다.
- evanescent wave — 고전적 금지영역에서 공간에 따라 지수적으로 감쇠하지만 0은 아닌 파동입니다.
03수학적 모형과 핵심 방정식
각 일정 퍼텐셜 영역에서 ψ는 진행파 e^{±ikx} 또는 감쇠파 e^{±κx}입니다. 유한한 퍼텐셜 경계에서는 ψ와 ψ′가 연속입니다. E<V0인 폭 a의 두꺼운 장벽에서는 T≈16E(V0−E)/V0²·e^{-2κa}, κ=√[2m(V0−E)]/ℏ입니다.
04유도와 계산 전략
공식은 외우는 대상이 아니라 가정과 정의에서 따라 나오는 결과입니다. 아래 순서를 따라 각 항의 출처와 계산 조건을 확인합니다.
- 각 영역의 k²=2m(E−V)/ℏ² 부호를 확인해 진행해 또는 감쇠해를 선택합니다.
- 장벽 양쪽 경계에서 ψ와 ψ′ 연속조건 네 개를 세워 입사 진폭에 대한 반사·투과 진폭을 구합니다.
- j=(ℏ/m)Im(ψ*ψ′)로 각 진행파의 전류를 계산하고 서로 다른 k가 있으면 T=(kt/ki)|t|²를 사용합니다.
- κa≫1 극한에서 sinh(κa)≈e^{κa}/2를 적용해 지수형 근사를 얻고 R+T=1로 검산합니다.
05적용 범위·한계·다음 연결
WKB형 지수 근사는 급격한 얇은 장벽이나 공명조건에서 부정확할 수 있습니다. 다중장벽에서는 간섭으로 T≈1인 공명터널링도 가능하며, 실제 전자전달에는 phonon과 환경 결합이 개입합니다.
- 알파붕괴와 핵융합 반응률은 Coulomb 장벽 터널링으로 설명됩니다.
- 반도체 터널다이오드·Josephson 접합·STM이 같은 수학을 사용합니다.
- Part 8의 산란이론에서 경계맞춤을 Green 함수와 S-matrix 언어로 일반화합니다.
06이 글의 용어 사전
본문을 읽다가 “그래서 이 말이 정확히 뭐지?”라는 질문이 생기면 여기에서 다시 확인할 수 있습니다.
- 반사율reflection coefficient
- 입사 확률전류에 대한 반사 확률전류의 비 R=|jr|/ji입니다.
- 투과율transmission coefficient
- 입사 확률전류에 대한 투과 확률전류의 비 T=jt/ji입니다.
- evanescent waveevanescent wave
- 고전적 금지영역에서 공간에 따라 지수적으로 감쇠하지만 0은 아닌 파동입니다.
- 상태벡터state vector
- 한 양자계에서 가능한 모든 측정의 확률 정보를 담는 Hilbert 공간의 벡터입니다.
- Hamiltonian
- 계의 에너지와 시간발전을 생성하는 Hermitian 연산자입니다.
- 중첩superposition
- 둘 이상의 허용 상태를 복소 계수로 선형 결합해 새로운 상태를 만드는 성질입니다.
07참고자료와 더 읽을거리
- KAIST 물리학과 교과과정 — PH301·PH302 양자역학 I·II와 수리물리학·고전역학의 공식 학부 교과 흐름을 확인합니다.
- MIT OpenCourseWare, Quantum Physics I — 파동함수, 1차원 퍼텐셜, 조화진동자, 산란과 수소 원자를 강의·문제 세트로 학습합니다.
- MIT OpenCourseWare, Quantum Physics II — 양자 동역학, 두 상태 계, 각운동량·스핀, 동일입자 형식의 학부 후반부 기준입니다.
- Griffiths & Schroeter, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed. — 파동함수부터 대칭성·근사법·산란·양자 동역학까지 이어지는 학부 표준 목차입니다.