결합으로 붙은 원자들은 대개 규칙적으로 쌓입니다. 이 규칙적 배열이 결정이고, 밀도·연성·상전이가 여기서 갈립니다. 규칙을 숫자로 다루는 법을 익혀 봅니다.
구리선을 원자 규모로 확대하자 같은 패턴이 세 방향으로 반복됩니다. 작은 반복 상자를 찾으면 전체 결정을 압축해 표현할 수 있지만, 상자를 어디에 잡느냐에 따라 겉모습은 달라 보입니다.
무한히 많은 원자 배열을 가장 작은 정보로 어떻게 표현할까요?
이번 장의 답격자와 기저를 합친 단위격자로 반복 규칙을 표현하고, 대칭성·배위수·충전율을 통해 구조가 만드는 밀도와 변형 가능성을 읽습니다.
01결정과 비정질
원자가 규칙적으로 반복되면 결정, 무질서하면 비정질(유리)입니다. 대부분의 금속·세라믹은 결정질이며, 같은 조성이라도 결정이냐 비정질이냐로 성질이 달라집니다.
02단위격자와 격자상수
결정은 같은 배열이 3차원으로 반복된 것이고, 그 반복의 최소 단위가 단위격자입니다. 입방 격자에서는 한 변 길이 $a$ (격자상수)와 원자 반지름 $r$ 사이에 구조마다 정해진 관계가 있습니다.
03대표 구조 세 가지
- BCC (체심입방) — 단위격자당 원자수 $n=2$, 배위수 8, 원자가 체대각선으로 닿아 $a = \dfrac{4r}{\sqrt{3}}$. 예: α-Fe, W.
- FCC (면심입방) — $n=4$, 배위수 12, 면대각선으로 닿아 $a = 2\sqrt{2}\,r$. 조밀하고 슬립계가 많아 연성이 좋습니다. 예: Al, Cu, Ni, γ-Fe.
- HCP (조밀육방) — 배위수 12, FCC와 같은 최밀 충전. 예: Mg, Ti, Zn.
04충전율(APF) 계산
충전율(APF)은 단위격자에서 원자가 실제로 차지하는 부피의 비율입니다.
$$ \mathrm{APF} = \frac{n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{a^3} $$
FCC를 넣어 보면 $n=4$, $a = 2\sqrt{2}\,r$ 이므로
$$ \mathrm{APF}_{\mathrm{FCC}} = \frac{4 \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{(2\sqrt{2}\,r)^3} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0.74. $$
같은 방식으로 BCC는 약 0.68이 나옵니다. FCC·HCP(0.74)가 가장 조밀한 배열이에요.
05밀도 계산
결정 구조를 알면 이론 밀도도 바로 계산됩니다.
$$ \rho = \frac{n\,A}{V_c\,N_A} = \frac{n\,A}{a^3\,N_A} $$
$A$ 는 원자량, $N_A$ 는 아보가드로 수입니다. 구리(FCC, $a = 0.361\ \mathrm{nm}$,$A = 63.5\ \mathrm{g/mol}$, $n=4$)를 넣으면 $\rho \approx 8.9\ \mathrm{g/cm^3}$ 로, 실측값과 거의 일치합니다.
06구조에서 물성으로
결정 구조는 밀도, 연성(슬립계 수), 상전이와 직결됩니다. FCC 금속이 슬립계가 많아 잘 늘어나고, 같은 원소도 구조가 바뀌면 다른 상이 됩니다(철의 α↔γ). 구조를 아는 것이 물성을 예측하는 출발점입니다.
07이 글의 용어 사전
본문을 읽다가 “그래서 이 말이 정확히 뭐지?”라는 질문이 생기면 여기에서 다시 확인할 수 있습니다.
- 격자lattice
- 공간에서 주기적으로 반복되는 수학적 점들의 집합입니다. 점 자체가 원자를 뜻하는 것은 아닙니다.
- 기저basis
- 각 격자점에 붙여 반복시키는 원자 또는 원자군입니다. 격자와 기저를 합치면 결정 구조가 됩니다.
- 단위격자unit cell
- 평행이동으로 전체 결정을 채울 수 있는 반복 단위입니다. 반드시 유일하거나 가장 작은 모양일 필요는 없습니다.
- 격자상수lattice parameter
- 단위격자의 변 길이와 각도입니다. 입방정에서는 보통 한 변 길이 a로 표현합니다.
- 배위수coordination number
- 기준 원자에 가장 가까이 접한 최근접 원자의 수입니다.
- 원자충전율atomic packing factor
- 단위격자 부피 중 단단한 구로 본 원자가 차지하는 비율입니다.
- 결정학적 방향·면crystallographic direction/plane
- 결정 안의 방향과 원자면을 정수 지수로 표시한 것입니다. 슬립과 회절을 기술할 때 사용합니다.
- 동소체allotrope
- 같은 원소가 온도·압력에 따라 서로 다른 결정 구조를 갖는 경우의 각 형태입니다.
08참고자료와 더 읽을거리
- De Graef & McHenry, Structure of Materials, 2nd ed. — 격자, 대칭성, 결정 구조와 회절의 체계적 설명.
- Callister & Rethwisch, Materials Science and Engineering: An Introduction, 10th ed. — BCC·FCC·HCP와 밀도 계산.
- IUCr Online Dictionary of Crystallography, “Crystal lattice” — 격자와 결정 구조의 엄밀한 구분.