Schrödinger·Heisenberg·상호작용 그림의 변환을 유도하고 propagator, Dyson 급수, 시간순서 연산자를 실제 계산에 사용합니다.

대학원 고급 양자역학 · Sakurai · PART 2 · 양자 동역학과 경로적분01 / 03

상태를 움직일지 관측량을 움직일지 선택해도 실험 기대값은 같으며, 섭동이 작을 때는 두 움직임을 나누는 것이 계산을 크게 단순화합니다.

시간발전을 상태와 연산자 사이에서 옮겨도 왜 관측 결과가 변하지 않을까요?

이번 글의 답unitary 변환으로 상태와 연산자를 서로 반대로 변환하면 bra–operator–ket의 곱이 불변이기 때문입니다. 상호작용 그림은 풀 수 있는 H₀의 발전을 정확히 처리하고 작은 V만 Dyson 급수로 전개합니다.

01직관부터 완전 전개 계산까지

SAKURAI, STEP BY STEP

시간발전 그림과 propagator: 기호를 외우기 전에 질문부터 세우기

Hamiltonian H가 주어졌을 때 가장 직접적인 방법은 상태를 iℏ∂ₜ|ψ_S⟩=H_S|ψ_S⟩로 진화시키는 것입니다. 그러나 보존량과 대칭성을 볼 때는 상태를 고정하고 연산자를 움직이는 Heisenberg 그림이 자연스럽습니다. 산란과 시간의존 섭동에서는 자유진화와 상호작용을 나누는 상호작용 그림이 사실상 표준입니다. 세 그림은 다른 이론이 아니라 unitary 좌표변환입니다.

BEFORE YOU START

이 글을 읽기 전에 확인할 세 가지

01

시간발전 연산자

02

Lagrangian과 작용

03

전자기 퍼텐셜

CORE CONCEPT

propagator

초기상태를 나중 상태로 옮기는 unitary 연산자 U(t,t₀)이며 조성법칙을 만족합니다.

CORE CONCEPT

상호작용 그림

H₀에 의한 시간발전은 연산자에, V에 의한 시간발전은 상태에 배분하는 표현입니다.

CORE CONCEPT

시간순서

더 늦은 시각의 연산자가 곱의 왼쪽에 오도록 배열하는 연산으로 Dyson 급수의 비가환성을 관리합니다.

CONCEPT ROUTE

관찰에서 식과 예측으로 가는 흐름

각 화살표는 단순한 목차가 아니라 다음 단계가 왜 필요한지를 보여줍니다.

01Schrödinger 그림

상태가 진화

02Heisenberg 그림

연산자가 진화

03상호작용 그림

H₀와 V 분리

04Dyson 급수

시간순서 섭동

$$ U_I(t,t_0)=\mathcal T\exp\!\left[-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t}dt'\,V_I(t')\right],\qquad A_H(t)=U^\dagger(t)A_SU(t) $$

DERIVE THE EQUATION

핵심 식을 네 단계로 읽고 유도합니다

$$ U_I(t,t_0)=\mathcal T\exp\!\left[-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t}dt'\,V_I(t')\right],\qquad A_H(t)=U^\dagger(t)A_SU(t) $$
01

|ψ_I(t)⟩=U₀†(t,t₀)|ψ_S(t)⟩를 미분하고 ∂ₜU₀†=(i/ℏ)U₀†H₀를 사용해 H₀ 항이 상쇄됨을 보입니다.

02

남는 식은 iℏ∂ₜ|ψ_I⟩=U₀†VU₀|ψ_I⟩≡V_I(t)|ψ_I⟩입니다.

03

적분방정식 U_I=I−(i/ℏ)∫V_IU_I를 자기 자신에 반복 대입해 1차, 2차 시간적분을 얻습니다.

04

적분영역 t₀<t₂<t₁<t를 시간순서 기호로 전체 정사각형 영역에 확장하면 Dyson 급수와 T-ordered exponential이 됩니다.

THREE WORKED PROBLEMS

대입에서 끝내지 않고 결과의 뜻까지 확인합니다

각 예제는 식 세우기 → 계산 → 단위·극한 점검 → 물리적 해석의 순서로 읽으세요.

01

조화진동자의 Heisenberg 운동

$$ \begin{aligned}\dot x_H&=\frac{i}{\hbar}[H,x_H]=\frac{p_H}{m},\quad \dot p_H=-m\omega^2x_H\\x_H(t)&=x(0)\cos\omega t+\frac{p(0)}{m\omega}\sin\omega t\end{aligned} $$

연산자 자체가 고전 조화진동 방정식을 만족하지만 x와 p의 비가환성은 보존됩니다. 어떤 고정된 상태에서 기대값을 취하면 Ehrenfest 운동이 즉시 나옵니다.

02

일정한 2준위 상호작용의 1차 전이진폭

$$ \begin{aligned}V_I(t)&=\hbar g\left(e^{i\omega_{fi}t}|f\rangle\langle i|+\mathrm{h.c.}\right)\\c_f^{(1)}(t)&=-ig\int_0^t e^{i\omega_{fi}t'}dt'\\&=g\frac{1-e^{i\omega_{fi}t}}{\omega_{fi}}\end{aligned} $$

전이확률은 4g²sin²(ω_fi t/2)/ω_fi²입니다. 공명 ω_fi→0에서는 극한을 취해 P≈g²t²가 되고, 짧은 시간의 확률이 t²로 시작함을 확인합니다.

03

Baker–Campbell–Hausdorff로 위치이동

$$ \begin{aligned}U(a)&=e^{-iap/\hbar},\quad X=-iap/\hbar\\U^\dagger xU&=x+[-X,x]+\frac1{2!}[-X,[-X,x]]+\cdots\\&=x+a\end{aligned} $$

[p,x]=−iℏ이므로 첫 교환자만 a이고 이후 교환자는 0입니다. 따라서 운동량은 공간병진의 generator라는 사실이 정확한 유한 변환으로 이어집니다.

스스로 확인하기 · 시간발전을 상태와 연산자 사이에서 옮겨도 왜 관측 결과가 변하지 않을까요?

unitary 변환으로 상태와 연산자를 서로 반대로 변환하면 bra–operator–ket의 곱이 불변이기 때문입니다. 상호작용 그림은 풀 수 있는 H₀의 발전을 정확히 처리하고 작은 V만 Dyson 급수로 전개합니다.

02문제와 물리적 직관

Hamiltonian H가 주어졌을 때 가장 직접적인 방법은 상태를 iℏ∂ₜ|ψ_S⟩=H_S|ψ_S⟩로 진화시키는 것입니다. 그러나 보존량과 대칭성을 볼 때는 상태를 고정하고 연산자를 움직이는 Heisenberg 그림이 자연스럽습니다. 산란과 시간의존 섭동에서는 자유진화와 상호작용을 나누는 상호작용 그림이 사실상 표준입니다. 세 그림은 다른 이론이 아니라 unitary 좌표변환입니다.

먼저 구분할 세 가지 개념
  • propagator — 초기상태를 나중 상태로 옮기는 unitary 연산자 U(t,t₀)이며 조성법칙을 만족합니다.
  • 상호작용 그림 — H₀에 의한 시간발전은 연산자에, V에 의한 시간발전은 상태에 배분하는 표현입니다.
  • 시간순서 — 더 늦은 시각의 연산자가 곱의 왼쪽에 오도록 배열하는 연산으로 Dyson 급수의 비가환성을 관리합니다.

03수학적 모형과 핵심 방정식

시간독립 H에 대해 U(t,t₀)=e^{-iH(t−t₀)/ℏ}입니다. Heisenberg 연산자는 A_H=U†AU이고 dA_H/dt=(i/ℏ)[H_H,A_H]+(∂A/∂t)_H를 만족합니다. H=H₀+V에서 |ψ_I⟩=U₀†|ψ_S⟩로 두면 iℏ∂ₜ|ψ_I⟩=V_I(t)|ψ_I⟩가 됩니다.

$$ U_I(t,t_0)=\mathcal T\exp\!\left[-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t}dt'\,V_I(t')\right],\qquad A_H(t)=U^\dagger(t)A_SU(t) $$
시간순서 지수는 서로 다른 시각의 상호작용이 가환하지 않는 경우 올바른 곱 순서를 보존합니다.

04유도와 계산 전략

공식은 외우는 대상이 아니라 가정과 정의에서 따라 나오는 결과입니다. 아래 순서를 따라 각 항의 출처와 계산 조건을 확인합니다.

식을 전개하는 네 단계
  • |ψ_I(t)⟩=U₀†(t,t₀)|ψ_S(t)⟩를 미분하고 ∂ₜU₀†=(i/ℏ)U₀†H₀를 사용해 H₀ 항이 상쇄됨을 보입니다.
  • 남는 식은 iℏ∂ₜ|ψ_I⟩=U₀†VU₀|ψ_I⟩≡V_I(t)|ψ_I⟩입니다.
  • 적분방정식 U_I=I−(i/ℏ)∫V_IU_I를 자기 자신에 반복 대입해 1차, 2차 시간적분을 얻습니다.
  • 적분영역 t₀<t₂<t₁<t를 시간순서 기호로 전체 정사각형 영역에 확장하면 Dyson 급수와 T-ordered exponential이 됩니다.

05적용 범위·한계·다음 연결

시간의존 Hamiltonian에서는 단순한 e^{-i∫Hdt/ℏ}가 일반적으로 틀립니다. 서로 다른 시각의 H(t)가 가환할 때만 시간순서를 제거할 수 있습니다. Dyson 급수는 상호작용이 약하거나 유한 시간일 때 유용하지만 장시간 secular term이나 강한 결합에서는 resummation, Floquet, 수치 time propagation이 필요합니다.

다음 과목과 연구로 이어지는 연결
  • 다음 글의 path integral은 같은 propagator의 위치표현 kernel을 모든 경로의 합으로 계산합니다.
  • 시간의존 섭동론과 Fermi golden rule은 상호작용 그림 Dyson 급수의 직접적인 응용입니다.
  • many-body Green 함수와 S-matrix는 time-ordered operator product를 기본 언어로 사용합니다.

06이 글의 용어 사전

본문을 읽다가 “그래서 이 말이 정확히 뭐지?”라는 질문이 생기면 여기에서 다시 확인할 수 있습니다.

propagatortime-evolution operator
초기상태를 나중 상태로 옮기는 unitary 연산자 U(t,t₀)이며 조성법칙을 만족합니다.
상호작용 그림interaction picture
H₀에 의한 시간발전은 연산자에, V에 의한 시간발전은 상태에 배분하는 표현입니다.
시간순서time ordering
더 늦은 시각의 연산자가 곱의 왼쪽에 오도록 배열하는 연산으로 Dyson 급수의 비가환성을 관리합니다.
생성자generator
연속 변환을 무한소 수준에서 만들며 대응하는 보존량과 연결되는 Hermitian 연산자입니다.
표현representation
추상 대칭 연산을 상태공간에서 작용하는 행렬이나 연산자로 구현한 것입니다.

07참고자료와 더 읽을거리

  1. Sakurai & Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. — 추상 형식, 동역학, 대칭성, 근사법, 산란과 상대론적 양자역학을 다루는 대학원 기준 교재입니다.
  2. MIT OpenCourseWare, Quantum Theory I — Sakurai를 주교재로 Hilbert 공간, 합성계, 대칭성, 경로적분과 근사법을 전개합니다.
  3. MIT OpenCourseWare, Quantum Theory II — 고급 산란, 동일입자와 상대론적 양자이론으로 이어지는 두 번째 대학원 과목입니다.
  4. KAIST 물리학과 대학원 교과과정 — PH503·PH504 양자역학 I·II와 고체·통계·장론 과목 사이의 공식 연결을 확인합니다.
NEXT ADVANCED QUANTUM NOTE경로적분: propagator를 ‘가능한 모든 역사’의 합으로 읽다 →