tensor product, 부분 trace, Schmidt 분해를 통해 순수한 전체계가 혼합된 부분계를 만드는 과정을 계산합니다.

대학원 고급 양자역학 · Sakurai · PART 1 · Sakurai의 출발점: 추상 상태공간03 / 03

두 spin이 하나의 Bell 상태에 있으면 전체 상태는 완전히 알려져 있지만 한 spin만 보는 관찰자는 최대한 혼합된 상태를 봅니다.

정보를 완전히 알고 있는 순수상태에서 어떻게 통계적 혼합상태가 나타날 수 있을까요?

이번 글의 답전체 Hilbert 공간이 tensor product일 때 접근하지 않는 자유도를 부분 trace하면 상대적 상관관계 정보가 사라집니다. 얽힌 순수상태의 부분계는 고전적 무지 때문이 아니라 구조적으로 혼합상태입니다.

01직관부터 완전 전개 계산까지

SAKURAI, STEP BY STEP

밀도연산자와 얽힘: 기호를 외우기 전에 질문부터 세우기

복합계에서 상태공간은 두 공간의 합이 아니라 tensor product H_A⊗H_B입니다. 차원이 d_A와 d_B이면 전체 차원은 d_Ad_B가 되고, 대부분의 벡터는 |a⟩⊗|b⟩로 분해되지 않습니다. 이런 얽힘은 단순한 상관관계 이상의 자원입니다. 밀도연산자는 고전적 확률 혼합과 얽힌 계의 부분상태를 같은 수학으로 표현하며, 기대값은 ⟨A⟩=Tr(ρA) 하나로 통일됩니다.

BEFORE YOU START

이 글을 읽기 전에 확인할 세 가지

01

학부 양자역학 전체

02

복소 선형대수

03

Dirac 표기와 스핀 1/2

CORE CONCEPT

부분 trace

관측하지 않는 부분계의 기저지수를 합해 접근 가능한 부분계의 밀도연산자를 만드는 연산입니다.

CORE CONCEPT

Schmidt 분해

두 부분으로 나눈 모든 순수상태를 서로 직교하는 쌍의 최소 합으로 표현하는 특이값 분해입니다.

CORE CONCEPT

얽힘 엔트로피

순수 복합계의 부분상태 von Neumann entropy S=−Trρ_A lnρ_A로 정량화한 얽힘의 양입니다.

CONCEPT ROUTE

관찰에서 식과 예측으로 가는 흐름

각 화살표는 단순한 목차가 아니라 다음 단계가 왜 필요한지를 보여줍니다.

01tensor product

복합 상태공간

02Schmidt 분해

직교 쌍 분해

03부분 trace

부분계 상태

04얽힘 척도

순도·엔트로피

$$ |\Psi\rangle=\sum_r\sqrt{\lambda_r}|u_r\rangle_A|v_r\rangle_B,\qquad \rho_A=\operatorname{Tr}_B|\Psi\rangle\langle\Psi|=\sum_r\lambda_r|u_r\rangle\langle u_r| $$

DERIVE THE EQUATION

핵심 식을 네 단계로 읽고 유도합니다

$$ |\Psi\rangle=\sum_r\sqrt{\lambda_r}|u_r\rangle_A|v_r\rangle_B,\qquad \rho_A=\operatorname{Tr}_B|\Psi\rangle\langle\Psi|=\sum_r\lambda_r|u_r\rangle\langle u_r| $$
01

계수행렬 C_ij를 이용해 |Ψ⟩=Σ_ijC_ij|i⟩_A|j⟩_B로 쓰고 C에 singular value decomposition C=U√ΛV†를 적용합니다.

02

새 기저 |uᵣ⟩=Σ_iU_ir|i⟩, |vᵣ⟩=Σ_jV^*_{jr}|j⟩를 정의하면 Schmidt 형식과 Σᵣλᵣ=1을 얻습니다.

03

ρ_AB를 전개한 뒤 B에서 trace하면 ⟨v_s|v_r⟩=δ_sr 때문에 교차항이 사라져 ρ_A=Σᵣλᵣ|uᵣ⟩⟨uᵣ|가 됩니다.

04

순도 Trρ_A²=Σᵣλᵣ²와 엔트로피 S=−Σᵣλᵣlnλᵣ를 계산해 product state와 maximally entangled state를 구별합니다.

THREE WORKED PROBLEMS

대입에서 끝내지 않고 결과의 뜻까지 확인합니다

각 예제는 식 세우기 → 계산 → 단위·극한 점검 → 물리적 해석의 순서로 읽으세요.

01

Bell 상태의 부분 trace

$$ \begin{aligned}|\Phi^+\rangle&=\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt2}\\\rho_A&=\sum_{b=0,1}\langle b|\Phi^+\rangle\langle\Phi^+|b\rangle\\&=\frac12(|0\rangle\langle0|+|1\rangle\langle1|)=\frac I2\end{aligned} $$

전체 상태의 순도는 1이지만 A만 보면 Trρ_A²=1/2입니다. 이 혼합성은 누군가가 상태 준비를 몰라서 생긴 것이 아니라 B와의 완전한 얽힘 때문에 생깁니다.

02

두 qubit 상태의 Schmidt 계수

$$ \begin{aligned}|\Psi\rangle&=\sqrt{0.8}|00\rangle+\sqrt{0.2}|11\rangle\\\rho_A&=0.8|0\rangle\langle0|+0.2|1\rangle\langle1|\\S_A&=-0.8\ln0.8-0.2\ln0.2\simeq0.500\ \mathrm{nat}\end{aligned} $$

Schmidt 계수가 하나뿐이면 S=0인 product state이고, 두 계수가 1/2이면 S=ln2로 최대입니다. nat 대신 log₂를 사용하면 이 예의 엔트로피는 약 0.722 bit입니다.

03

CHSH 상관함수의 양자 위반

$$ \begin{aligned}E(\boldsymbol a,\boldsymbol b)&=-\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b\\S&=E(a,b)+E(a,b')+E(a',b)-E(a',b')\\|S|_{\rm QM}&=2\sqrt2>2=|S|_{\rm local}\end{aligned} $$

singlet 상태에서 측정축을 45° 간격으로 고르면 국소 숨은변수 이론의 경계 2를 넘습니다. 얽힘은 각 부분의 미리 정해진 값만으로 설명되는 고전적 상관과 다릅니다.

스스로 확인하기 · 정보를 완전히 알고 있는 순수상태에서 어떻게 통계적 혼합상태가 나타날 수 있을까요?

전체 Hilbert 공간이 tensor product일 때 접근하지 않는 자유도를 부분 trace하면 상대적 상관관계 정보가 사라집니다. 얽힌 순수상태의 부분계는 고전적 무지 때문이 아니라 구조적으로 혼합상태입니다.

02문제와 물리적 직관

복합계에서 상태공간은 두 공간의 합이 아니라 tensor product H_A⊗H_B입니다. 차원이 d_A와 d_B이면 전체 차원은 d_Ad_B가 되고, 대부분의 벡터는 |a⟩⊗|b⟩로 분해되지 않습니다. 이런 얽힘은 단순한 상관관계 이상의 자원입니다. 밀도연산자는 고전적 확률 혼합과 얽힌 계의 부분상태를 같은 수학으로 표현하며, 기대값은 ⟨A⟩=Tr(ρA) 하나로 통일됩니다.

먼저 구분할 세 가지 개념
  • 부분 trace — 관측하지 않는 부분계의 기저지수를 합해 접근 가능한 부분계의 밀도연산자를 만드는 연산입니다.
  • Schmidt 분해 — 두 부분으로 나눈 모든 순수상태를 서로 직교하는 쌍의 최소 합으로 표현하는 특이값 분해입니다.
  • 얽힘 엔트로피 — 순수 복합계의 부분상태 von Neumann entropy S=−Trρ_A lnρ_A로 정량화한 얽힘의 양입니다.

03수학적 모형과 핵심 방정식

순수 복합상태 |Ψ⟩의 전체 밀도연산자는 ρ_AB=|Ψ⟩⟨Ψ|이고, A 부분계의 상태는 ρ_A=Tr_Bρ_AB입니다. Schmidt 분해 |Ψ⟩=Σᵣ√λᵣ|uᵣ⟩|vᵣ⟩를 사용하면 ρ_A=Σᵣλᵣ|uᵣ⟩⟨uᵣ|가 되어 얽힘 스펙트럼이 즉시 드러납니다.

$$ |\Psi\rangle=\sum_r\sqrt{\lambda_r}|u_r\rangle_A|v_r\rangle_B,\qquad \rho_A=\operatorname{Tr}_B|\Psi\rangle\langle\Psi|=\sum_r\lambda_r|u_r\rangle\langle u_r| $$
Schmidt 계수 λᵣ는 두 부분계의 비영 고유값이며 얽힘 엔트로피를 결정합니다.

04유도와 계산 전략

공식은 외우는 대상이 아니라 가정과 정의에서 따라 나오는 결과입니다. 아래 순서를 따라 각 항의 출처와 계산 조건을 확인합니다.

식을 전개하는 네 단계
  • 계수행렬 C_ij를 이용해 |Ψ⟩=Σ_ijC_ij|i⟩_A|j⟩_B로 쓰고 C에 singular value decomposition C=U√ΛV†를 적용합니다.
  • 새 기저 |uᵣ⟩=Σ_iU_ir|i⟩, |vᵣ⟩=Σ_jV^*_{jr}|j⟩를 정의하면 Schmidt 형식과 Σᵣλᵣ=1을 얻습니다.
  • ρ_AB를 전개한 뒤 B에서 trace하면 ⟨v_s|v_r⟩=δ_sr 때문에 교차항이 사라져 ρ_A=Σᵣλᵣ|uᵣ⟩⟨uᵣ|가 됩니다.
  • 순도 Trρ_A²=Σᵣλᵣ²와 엔트로피 S=−Σᵣλᵣlnλᵣ를 계산해 product state와 maximally entangled state를 구별합니다.

05적용 범위·한계·다음 연결

부분상태가 혼합되었다는 사실만으로 전체 상태가 얽혔다고 단정할 수 있는 것은 전체가 순수할 때뿐입니다. 혼합 복합상태의 얽힘 판정에는 partial transpose, concurrence 등 추가 도구가 필요합니다. 또한 얽힘은 초광속 신호를 허용하지 않습니다. A의 무조건부 부분상태는 B의 측정 선택만으로 바뀌지 않습니다.

다음 과목과 연구로 이어지는 연결
  • 상호작용그림과 열린계에서는 환경을 trace하여 decoherence와 master equation을 얻습니다.
  • 동일입자와 다체물리에서는 tensor product를 대칭 또는 반대칭 부분공간으로 제한해야 합니다.
  • 재료의 DMRG·tensor network는 Schmidt 스펙트럼을 이용해 중요한 상태공간만 보존합니다.

06이 글의 용어 사전

본문을 읽다가 “그래서 이 말이 정확히 뭐지?”라는 질문이 생기면 여기에서 다시 확인할 수 있습니다.

부분 tracepartial trace
관측하지 않는 부분계의 기저지수를 합해 접근 가능한 부분계의 밀도연산자를 만드는 연산입니다.
Schmidt 분해Schmidt decomposition
두 부분으로 나눈 모든 순수상태를 서로 직교하는 쌍의 최소 합으로 표현하는 특이값 분해입니다.
얽힘 엔트로피entanglement entropy
순수 복합계의 부분상태 von Neumann entropy S=−Trρ_A lnρ_A로 정량화한 얽힘의 양입니다.
생성자generator
연속 변환을 무한소 수준에서 만들며 대응하는 보존량과 연결되는 Hermitian 연산자입니다.
표현representation
추상 대칭 연산을 상태공간에서 작용하는 행렬이나 연산자로 구현한 것입니다.
propagator
초기 상태가 주어진 시간 뒤 어떤 상태로 이동하는지를 나타내는 시간발전 kernel입니다.

07참고자료와 더 읽을거리

  1. Sakurai & Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. — 추상 형식, 동역학, 대칭성, 근사법, 산란과 상대론적 양자역학을 다루는 대학원 기준 교재입니다.
  2. MIT OpenCourseWare, Quantum Theory I — Sakurai를 주교재로 Hilbert 공간, 합성계, 대칭성, 경로적분과 근사법을 전개합니다.
  3. MIT OpenCourseWare, Quantum Theory II — 고급 산란, 동일입자와 상대론적 양자이론으로 이어지는 두 번째 대학원 과목입니다.
  4. KAIST 물리학과 대학원 교과과정 — PH503·PH504 양자역학 I·II와 고체·통계·장론 과목 사이의 공식 연결을 확인합니다.
NEXT ADVANCED QUANTUM NOTE세 가지 시간발전 그림과 propagator: 같은 물리를 옮겨 담는 법 →