resolvent, outgoing Green 함수, T-matrix를 도입해 입사파에서 산란파가 생성되는 적분방정식을 유도합니다.

대학원 고급 양자역학 · Sakurai · PART 5 · 산란이론과 동일입자01 / 03

산란상태는 자유입자 plane wave에 potential이 모든 지점에서 방출한 구면파를 중첩한 형태로 만들어집니다.

시간독립 Schrödinger 방정식 하나에서 들어오는 상태와 나가는 상태를 어떻게 구별할까요?

이번 글의 답에너지 resolvent에 ±i0 경계조건을 넣습니다. (E−H₀±i0)^{-1}의 극점 우회방향이 멀리서 outgoing 또는 incoming spherical wave를 선택하고 물리적 산란상태를 정의합니다.

01직관부터 완전 전개 계산까지

SAKURAI, STEP BY STEP

Lippmann–Schwinger 방정식: 기호를 외우기 전에 질문부터 세우기

H=H₀+V의 연속 스펙트럼에서 단순한 고유값 섭동론은 에너지 분모의 pole 때문에 실패합니다. 산란이론은 이 pole을 없애는 것이 아니라 어떤 경계조건으로 통과할지를 지정합니다. Lippmann–Schwinger 방정식은 미분방정식을 Green 함수 적분방정식으로 바꾸어 incident wave와 scattered wave를 명확히 분리하고 Born series와 T-matrix의 출발점을 제공합니다.

BEFORE YOU START

이 글을 읽기 전에 확인할 세 가지

01

Green 함수

02

학부 산란이론

03

보손·페르미온 대칭화

CORE CONCEPT

resolvent

복소 에너지 z에서 G(z)=(z−H)^{-1}로 정의되며 spectrum, 시간발전, 응답함수 정보를 담는 연산자입니다.

CORE CONCEPT

outgoing 경계조건

멀리서 입사 plane wave와 바깥으로 퍼지는 e^{ikr}/r 구면파만 남도록 고르는 조건입니다.

CORE CONCEPT

T-matrix

potential에 의한 한 번 및 모든 반복산란 V+VG₀V+…을 하나의 연산자로 합친 양입니다.

CONCEPT ROUTE

관찰에서 식과 예측으로 가는 흐름

각 화살표는 단순한 목차가 아니라 다음 단계가 왜 필요한지를 보여줍니다.

01연속 spectrum

에너지 shell

02±i0

경계조건

03Green 함수

구면파 생성

04T-matrix

반복산란 합

$$ |\psi_{\boldsymbol k}^{(+)}\rangle=|\boldsymbol k\rangle+G_0^{(+)}(E)V|\psi_{\boldsymbol k}^{(+)}\rangle,\qquad T(E)=V+VG_0^{(+)}(E)T(E) $$

DERIVE THE EQUATION

핵심 식을 네 단계로 읽고 유도합니다

$$ |\psi_{\boldsymbol k}^{(+)}\rangle=|\boldsymbol k\rangle+G_0^{(+)}(E)V|\psi_{\boldsymbol k}^{(+)}\rangle,\qquad T(E)=V+VG_0^{(+)}(E)T(E) $$
01

정지 산란식 (E−H₀−V)|ψ⟩=0을 (E−H₀)|ψ⟩=V|ψ⟩로 다시 씁니다.

02

E가 H₀의 연속스펙트럼 위에 있으므로 역연산자에 ±iε를 넣고 ε→0⁺ 극한을 취해 경계조건을 지정합니다.

03

동차해 |k⟩를 더해 |ψ^(+)⟩=|k⟩+G₀^(+)V|ψ^(+)⟩를 얻고 이를 반복 대입해 Born series를 만듭니다.

04

좌표표현에서 G₀^(+)(r,r′)=−(m/2πℏ²)e^{ik|r−r′|}/|r−r′|를 쓰고 r→∞ 점근형을 취해 f(k′,k)=−(m/2πℏ²)⟨k′|T|k⟩를 읽습니다.

THREE WORKED PROBLEMS

대입에서 끝내지 않고 결과의 뜻까지 확인합니다

각 예제는 식 세우기 → 계산 → 단위·극한 점검 → 물리적 해석의 순서로 읽으세요.

01

3차원 자유 outgoing Green 함수

$$ \begin{aligned}G_0^{(+)}(\boldsymbol r)&=\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{e^{i\boldsymbol q\cdot\boldsymbol r}}{E-\hbar^2q^2/(2m)+i0}\\&=-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\frac{e^{ikr}}{r}\end{aligned} $$

q 평면의 pole을 +i0 규약에 맞게 contour 적분하면 e^{+ikr}/r가 남습니다. −i0을 택하면 e^{-ikr}/r의 incoming Green 함수가 됩니다.

02

rank-1 separable potential의 정확한 T

$$ \begin{aligned}V&=\lambda|g\rangle\langle g|,quad T=|g\rangle\tau(E)\langle g|\\\tau(E)&=\lambda+\lambda\langle g|G_0^{(+)}|g\rangle\tau(E)\\&=\frac{\lambda}{1-\lambda\langle g|G_0^{(+)}|g\rangle}\end{aligned} $$

Born series가 기하급수로 정확히 합쳐집니다. 분모가 0에 가까우면 T가 커져 bound state 또는 resonance pole이 나타나는 일반 구조를 보여줍니다.

03

T-matrix와 미분단면적

$$ \begin{aligned}f(\boldsymbol k',\boldsymbol k)&=-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\langle\boldsymbol k'|T(E)|\boldsymbol k\rangle\\\frac{d\sigma}{d\Omega}&=|f(\boldsymbol k',\boldsymbol k)|^2,\quad |\boldsymbol k'|=|\boldsymbol k|\end{aligned} $$

on-shell 조건은 탄성산란의 에너지보존입니다. normalization convention에 따라 앞계수 모양이 달라질 수 있으므로 plane-wave 정규화와 함께 사용해야 합니다.

스스로 확인하기 · 시간독립 Schrödinger 방정식 하나에서 들어오는 상태와 나가는 상태를 어떻게 구별할까요?

에너지 resolvent에 ±i0 경계조건을 넣습니다. (E−H₀±i0)^{-1}의 극점 우회방향이 멀리서 outgoing 또는 incoming spherical wave를 선택하고 물리적 산란상태를 정의합니다.

02문제와 물리적 직관

H=H₀+V의 연속 스펙트럼에서 단순한 고유값 섭동론은 에너지 분모의 pole 때문에 실패합니다. 산란이론은 이 pole을 없애는 것이 아니라 어떤 경계조건으로 통과할지를 지정합니다. Lippmann–Schwinger 방정식은 미분방정식을 Green 함수 적분방정식으로 바꾸어 incident wave와 scattered wave를 명확히 분리하고 Born series와 T-matrix의 출발점을 제공합니다.

먼저 구분할 세 가지 개념
  • resolvent — 복소 에너지 z에서 G(z)=(z−H)^{-1}로 정의되며 spectrum, 시간발전, 응답함수 정보를 담는 연산자입니다.
  • outgoing 경계조건 — 멀리서 입사 plane wave와 바깥으로 퍼지는 e^{ikr}/r 구면파만 남도록 고르는 조건입니다.
  • T-matrix — potential에 의한 한 번 및 모든 반복산란 V+VG₀V+…을 하나의 연산자로 합친 양입니다.

03수학적 모형과 핵심 방정식

(E−H)|ψ⟩=0을 (E−H₀)|ψ⟩=V|ψ⟩로 옮기고 자유 resolvent G₀^(±)(E)=(E−H₀±i0)^{-1}를 작용합니다. 그러면 |ψ_k^(±)⟩=|k⟩+G₀^(±)V|ψ_k^(±)⟩입니다. T(E)=V+VG₀^(+)T를 정의하면 on-shell matrix element가 산란진폭을 줍니다.

$$ |\psi_{\boldsymbol k}^{(+)}\rangle=|\boldsymbol k\rangle+G_0^{(+)}(E)V|\psi_{\boldsymbol k}^{(+)}\rangle,\qquad T(E)=V+VG_0^{(+)}(E)T(E) $$
+i0 prescription은 retarded outgoing 경계조건을 선택하고 T는 모든 반복산란을 합합니다.

04유도와 계산 전략

공식은 외우는 대상이 아니라 가정과 정의에서 따라 나오는 결과입니다. 아래 순서를 따라 각 항의 출처와 계산 조건을 확인합니다.

식을 전개하는 네 단계
  • 정지 산란식 (E−H₀−V)|ψ⟩=0을 (E−H₀)|ψ⟩=V|ψ⟩로 다시 씁니다.
  • E가 H₀의 연속스펙트럼 위에 있으므로 역연산자에 ±iε를 넣고 ε→0⁺ 극한을 취해 경계조건을 지정합니다.
  • 동차해 |k⟩를 더해 |ψ^(+)⟩=|k⟩+G₀^(+)V|ψ^(+)⟩를 얻고 이를 반복 대입해 Born series를 만듭니다.
  • 좌표표현에서 G₀^(+)(r,r′)=−(m/2πℏ²)e^{ik|r−r′|}/|r−r′|를 쓰고 r→∞ 점근형을 취해 f(k′,k)=−(m/2πℏ²)⟨k′|T|k⟩를 읽습니다.

05적용 범위·한계·다음 연결

Coulomb potential처럼 장거리 상호작용은 멀리서 자유 plane wave라는 가정이 깨져 표준 Lippmann–Schwinger 점근형을 수정해야 합니다. potential이 너무 singular하면 regularization과 renormalization이 필요할 수 있습니다. 또한 plane wave는 정규화 불가능하므로 엄밀한 산란확률은 wave packet limit로 이해해야 합니다.

다음 과목과 연구로 이어지는 연결
  • 다음 글에서 T≈V인 Born 근사와 angular momentum으로 정확히 unitary인 partial-wave 방법을 비교합니다.
  • Fermi golden rule은 on-shell T-matrix의 가장 낮은 차수와 상태밀도로 전이율을 만듭니다.
  • many-body Green 함수의 self-energy와 spectral function도 resolvent의 pole·branch cut 구조를 분석합니다.

06이 글의 용어 사전

본문을 읽다가 “그래서 이 말이 정확히 뭐지?”라는 질문이 생기면 여기에서 다시 확인할 수 있습니다.

resolventresolvent operator
복소 에너지 z에서 G(z)=(z−H)^{-1}로 정의되며 spectrum, 시간발전, 응답함수 정보를 담는 연산자입니다.
outgoing 경계조건outgoing boundary condition
멀리서 입사 plane wave와 바깥으로 퍼지는 e^{ikr}/r 구면파만 남도록 고르는 조건입니다.
T-matrixtransition operator
potential에 의한 한 번 및 모든 반복산란 V+VG₀V+…을 하나의 연산자로 합친 양입니다.
생성자generator
연속 변환을 무한소 수준에서 만들며 대응하는 보존량과 연결되는 Hermitian 연산자입니다.
표현representation
추상 대칭 연산을 상태공간에서 작용하는 행렬이나 연산자로 구현한 것입니다.
propagator
초기 상태가 주어진 시간 뒤 어떤 상태로 이동하는지를 나타내는 시간발전 kernel입니다.

07참고자료와 더 읽을거리

  1. Sakurai & Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. — 추상 형식, 동역학, 대칭성, 근사법, 산란과 상대론적 양자역학을 다루는 대학원 기준 교재입니다.
  2. MIT OpenCourseWare, Quantum Theory I — Sakurai를 주교재로 Hilbert 공간, 합성계, 대칭성, 경로적분과 근사법을 전개합니다.
  3. MIT OpenCourseWare, Quantum Theory II — 고급 산란, 동일입자와 상대론적 양자이론으로 이어지는 두 번째 대학원 과목입니다.
  4. KAIST 물리학과 대학원 교과과정 — PH503·PH504 양자역학 I·II와 고체·통계·장론 과목 사이의 공식 연결을 확인합니다.
NEXT ADVANCED QUANTUM NOTEBorn 근사·부분파·공명: 산란진폭을 읽는 세 개의 창 →