Fourier 변환으로 보는 Born 진폭, 위상천이 partial wave, optical theorem과 Breit–Wigner resonance를 계산합니다.

대학원 고급 양자역학 · Sakurai · PART 5 · 산란이론과 동일입자02 / 03

약한 potential은 한 번 산란한 진폭으로 보이지만 강한 중심 potential은 각 각운동량 channel의 위상지연으로 보는 편이 정확합니다.

같은 산란 문제에서 언제 Born 근사를 쓰고 언제 partial-wave 방법을 써야 할까요?

이번 글의 답입자 파장이 짧고 potential이 충분히 약하면 Born 근사가 momentum transfer의 Fourier 성분을 직접 줍니다. 낮은 에너지나 강한 중심 potential에서는 각 l channel의 unitary phase shift를 구해 합하는 방식이 더 안정적입니다.

01직관부터 완전 전개 계산까지

SAKURAI, STEP BY STEP

Born·부분파·공명: 기호를 외우기 전에 질문부터 세우기

산란진폭 f(θ,φ)는 potential의 구조와 충돌 동역학을 검출각에 압축한 복소수입니다. Born 근사는 Lippmann–Schwinger 식 안의 정확한 상태를 입사 plane wave로 한 번 치환합니다. 부분파 전개는 회전대칭을 이용해 plane wave를 l channel로 분해하고 각 channel의 S_l=e^{2iδ_l}을 구합니다. resonance는 특정 δ_l이 π/2를 빠르게 통과할 때 나타납니다.

BEFORE YOU START

이 글을 읽기 전에 확인할 세 가지

01

Green 함수

02

학부 산란이론

03

보손·페르미온 대칭화

CORE CONCEPT

운동량 전달

q=k′−k로 정의되며 Born 진폭에서 potential의 어떤 공간 Fourier 성분을 보는지 결정합니다.

CORE CONCEPT

위상천이

potential 때문에 각 l의 radial wave가 자유파에 비해 얻는 점근적 위상 δ_l입니다.

CORE CONCEPT

공명

준결합상태 때문에 특정 에너지에서 phase shift와 단면적이 급격히 변하는 유한수명 상태입니다.

CONCEPT ROUTE

관찰에서 식과 예측으로 가는 흐름

각 화살표는 단순한 목차가 아니라 다음 단계가 왜 필요한지를 보여줍니다.

01Born 전개

약한 산란

02partial wave

각운동량 channel

03unitarity

optical theorem

04resonance pole

유한수명

$$ f(\theta)=\frac1k\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)e^{i\delta_l}\sin\delta_l\,P_l(\cos\theta),\qquad \sigma_{\rm tot}=\frac{4\pi}{k^2}\sum_l(2l+1)\sin^2\delta_l $$

DERIVE THE EQUATION

핵심 식을 네 단계로 읽고 유도합니다

$$ f(\theta)=\frac1k\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)e^{i\delta_l}\sin\delta_l\,P_l(\cos\theta),\qquad \sigma_{\rm tot}=\frac{4\pi}{k^2}\sum_l(2l+1)\sin^2\delta_l $$
01

T=V+VG₀V+…에서 T≈V로 자르면 첫 Born 진폭이 되고 plane-wave matrix element를 쓰면 V의 Fourier 변환이 됩니다.

02

중심 potential에서 e^{ikz}=Σ_l i^l(2l+1)j_l(kr)P_l(cosθ)로 입사파를 partial wave로 분해합니다.

03

potential 밖 radial solution을 sin(kr−lπ/2+δ_l)/kr로 맞춰 incoming과 outgoing 계수의 비 S_l=e^{2iδ_l}를 얻습니다.

04

orthogonality of Legendre polynomials로 |f|²을 각도적분해 total cross section을 얻고 forward amplitude에서 optical theorem Im f(0)=kσ_tot/4π를 확인합니다.

THREE WORKED PROBLEMS

대입에서 끝내지 않고 결과의 뜻까지 확인합니다

각 예제는 식 세우기 → 계산 → 단위·극한 점검 → 물리적 해석의 순서로 읽으세요.

01

Yukawa potential의 Born 진폭

$$ \begin{aligned}V(r)&=V_0\frac{e^{-\mu r}}{r}\\\widetilde V(q)&=\int d^3r\,e^{-i\boldsymbol q\cdot\boldsymbol r}V(r)=\frac{4\pi V_0}{q^2+\mu^2}\\f_B(q)&=-\frac{2mV_0}{\hbar^2(q^2+\mu^2)}\end{aligned} $$

screening 길이 μ^{-1}가 길수록 작은 q의 forward scattering이 강해집니다. dσ/dΩ=|f_B|²에서 각분포를 바로 얻을 수 있습니다.

02

저에너지 s-wave와 scattering length

$$ \begin{aligned}k\cot\delta_0&=-\frac1a+\frac12r_e k^2+O(k^4)\\f_0(k)&=\frac{1}{k\cot\delta_0-ik}\\k\to0:\quad \sigma&\to4\pi a^2\end{aligned} $$

낮은 에너지에는 원심장벽 때문에 l>0 channel이 억제되어 복잡한 짧은거리 potential의 정보가 scattering length a와 effective range r_e 몇 개로 압축됩니다.

03

Breit–Wigner 공명

$$ \begin{aligned}\delta_l(E)&\simeq\delta_{\rm bg}+\tan^{-1}\frac{\Gamma/2}{E_R-E}\\\sigma_l(E)&\simeq\frac{4\pi}{k^2}(2l+1)\frac{(\Gamma/2)^2}{(E-E_R)^2+(\Gamma/2)^2}\end{aligned} $$

배경위상을 무시하면 E=E_R에서 δ_l=π/2이고 해당 partial wave가 unitarity 한계에 도달합니다. 폭 Γ는 수명 τ≈ℏ/Γ와 연결됩니다.

스스로 확인하기 · 같은 산란 문제에서 언제 Born 근사를 쓰고 언제 partial-wave 방법을 써야 할까요?

입자 파장이 짧고 potential이 충분히 약하면 Born 근사가 momentum transfer의 Fourier 성분을 직접 줍니다. 낮은 에너지나 강한 중심 potential에서는 각 l channel의 unitary phase shift를 구해 합하는 방식이 더 안정적입니다.

02문제와 물리적 직관

산란진폭 f(θ,φ)는 potential의 구조와 충돌 동역학을 검출각에 압축한 복소수입니다. Born 근사는 Lippmann–Schwinger 식 안의 정확한 상태를 입사 plane wave로 한 번 치환합니다. 부분파 전개는 회전대칭을 이용해 plane wave를 l channel로 분해하고 각 channel의 S_l=e^{2iδ_l}을 구합니다. resonance는 특정 δ_l이 π/2를 빠르게 통과할 때 나타납니다.

먼저 구분할 세 가지 개념
  • 운동량 전달 — q=k′−k로 정의되며 Born 진폭에서 potential의 어떤 공간 Fourier 성분을 보는지 결정합니다.
  • 위상천이 — potential 때문에 각 l의 radial wave가 자유파에 비해 얻는 점근적 위상 δ_l입니다.
  • 공명 — 준결합상태 때문에 특정 에너지에서 phase shift와 단면적이 급격히 변하는 유한수명 상태입니다.

03수학적 모형과 핵심 방정식

첫 Born 진폭은 f_B(q)=−m/(2πℏ²)∫d³r e^{-iq·r}V(r)이고 q=k′−k입니다. 중심 potential에서는 f(θ)=Σ_l(2l+1)(e^{2iδ_l}−1)P_l(cosθ)/(2ik)이며 σ_tot=(4π/k²)Σ_l(2l+1)sin²δ_l입니다.

$$ f(\theta)=\frac1k\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)e^{i\delta_l}\sin\delta_l\,P_l(\cos\theta),\qquad \sigma_{\rm tot}=\frac{4\pi}{k^2}\sum_l(2l+1)\sin^2\delta_l $$
탄성산란의 unitarity는 각 channel 진폭을 실수 phase shift 하나로 제한합니다.

04유도와 계산 전략

공식은 외우는 대상이 아니라 가정과 정의에서 따라 나오는 결과입니다. 아래 순서를 따라 각 항의 출처와 계산 조건을 확인합니다.

식을 전개하는 네 단계
  • T=V+VG₀V+…에서 T≈V로 자르면 첫 Born 진폭이 되고 plane-wave matrix element를 쓰면 V의 Fourier 변환이 됩니다.
  • 중심 potential에서 e^{ikz}=Σ_l i^l(2l+1)j_l(kr)P_l(cosθ)로 입사파를 partial wave로 분해합니다.
  • potential 밖 radial solution을 sin(kr−lπ/2+δ_l)/kr로 맞춰 incoming과 outgoing 계수의 비 S_l=e^{2iδ_l}를 얻습니다.
  • orthogonality of Legendre polynomials로 |f|²을 각도적분해 total cross section을 얻고 forward amplitude에서 optical theorem Im f(0)=kσ_tot/4π를 확인합니다.

05적용 범위·한계·다음 연결

첫 Born 근사는 무차원 결합이 작고 입사파가 potential 내부에서 크게 왜곡되지 않을 때만 신뢰됩니다. 저에너지에서 큰 scattering length나 resonance가 있으면 반드시 반복산란을 합해야 합니다. 비탄성 channel이 열리면 S_l의 크기가 1보다 작아져 하나의 실수 phase shift만으로 충분하지 않습니다.

다음 과목과 연구로 이어지는 연결
  • 동일입자 산란에서는 f(θ)와 f(π−θ)를 대칭 또는 반대칭으로 합쳐야 합니다.
  • 핵·원자·cold atom에서 Feshbach resonance는 scattering length를 외부장으로 조절합니다.
  • 결정 결함과 불순물의 T-matrix는 전자수명, local density of states, 수송을 계산하는 데 쓰입니다.

06이 글의 용어 사전

본문을 읽다가 “그래서 이 말이 정확히 뭐지?”라는 질문이 생기면 여기에서 다시 확인할 수 있습니다.

운동량 전달momentum transfer
q=k′−k로 정의되며 Born 진폭에서 potential의 어떤 공간 Fourier 성분을 보는지 결정합니다.
위상천이phase shift
potential 때문에 각 l의 radial wave가 자유파에 비해 얻는 점근적 위상 δ_l입니다.
공명resonance
준결합상태 때문에 특정 에너지에서 phase shift와 단면적이 급격히 변하는 유한수명 상태입니다.
생성자generator
연속 변환을 무한소 수준에서 만들며 대응하는 보존량과 연결되는 Hermitian 연산자입니다.
표현representation
추상 대칭 연산을 상태공간에서 작용하는 행렬이나 연산자로 구현한 것입니다.
propagator
초기 상태가 주어진 시간 뒤 어떤 상태로 이동하는지를 나타내는 시간발전 kernel입니다.

07참고자료와 더 읽을거리

  1. Sakurai & Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. — 추상 형식, 동역학, 대칭성, 근사법, 산란과 상대론적 양자역학을 다루는 대학원 기준 교재입니다.
  2. MIT OpenCourseWare, Quantum Theory I — Sakurai를 주교재로 Hilbert 공간, 합성계, 대칭성, 경로적분과 근사법을 전개합니다.
  3. MIT OpenCourseWare, Quantum Theory II — 고급 산란, 동일입자와 상대론적 양자이론으로 이어지는 두 번째 대학원 과목입니다.
  4. KAIST 물리학과 대학원 교과과정 — PH503·PH504 양자역학 I·II와 고체·통계·장론 과목 사이의 공식 연결을 확인합니다.
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