두 상태 계와 Rabi 진동: 가장 작은 양자 동역학

2×2 Hamiltonian을 대각화하고 외부장의 공명 구동으로 population이 진동하는 과정을 계산합니다.

학부 양자역학 I·II · PART 4 · 시간발전과 조화진동자03 / 03

두 원자궤도, 스핀 1/2, qubit, 이중우물은 서로 다른 계지만 모두 두 상태 Hamiltonian으로 환원될 수 있습니다.

두 상태 사이 결합은 에너지와 시간발전을 어떻게 바꿀까요?

이번 글의 답비대각 결합은 bare state를 혼합하고 에너지 반교차를 만듭니다. 주기 외부장이 준위차와 공명하면 상태점유가 Rabi 진동하며 두 상태 사이를 coherent하게 오갑니다.

PH301 · 학부 심화

012×2 Hamiltonian대각·비대각 항

02고유상태 혼합반교차

03외부 구동공명·detuning

04Rabi 제어점유 진동

$$ \hat H=\frac\hbar2\begin{pmatrix}\Delta&\Omega\\\Omega&-\Delta\end{pmatrix},\qquad \Omega_R=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2},\qquad P_e(t)=\frac{\Omega^2}{\Omega_R^2}\sin^2\frac{\Omega_Rt}{2} $$

2×2 Hamiltonian → 고유상태 혼합 → 외부 구동 → Rabi 제어의 순서로 개념을 세우고 계산 결과가 실제 물리 현상을 설명하는지 확인합니다.

01직관부터 완전 전개 계산까지

QUANTUM MECHANICS, FROM ZERO

두 상태 계: 기호를 외우기 전에 질문부터 세우기

두 상태 계는 장난감 모형이 아니라 양자제어의 기본 단위입니다. 2×2 행렬의 대각항은 각 상태의 에너지, 비대각항은 전이·터널링 진폭입니다. 고유값·고유벡터와 시간발전을 모두 손으로 계산할 수 있어 양자역학의 핵심을 압축해 보여줍니다.

BEFORE YOU START

이 글을 읽기 전에 확인할 세 가지

정상상태와 중첩

연산자의 교환자

고전 조화진동

CORE CONCEPT

detuning

구동 각진동수와 계의 공명 각진동수 차이를 나타내는 Δ입니다.

CORE CONCEPT

Rabi 진동

coherent 구동 아래 두 준위 점유확률이 주기적으로 교환되는 현상입니다.

CORE CONCEPT

Bloch 구면

정규화된 순수 두 상태 계를 단위구면 위 한 점으로 표현한 기하학적 그림입니다.

CONCEPT ROUTE

관찰에서 식과 예측으로 가는 흐름

각 화살표는 단순한 목차가 아니라 다음 단계가 왜 필요한지를 보여줍니다.

012×2 Hamiltonian

대각·비대각 항

02고유상태 혼합

반교차

03외부 구동

공명·detuning

04Rabi 제어

점유 진동

$$ \hat H=\frac\hbar2\begin{pmatrix}\Delta&\Omega\\\Omega&-\Delta\end{pmatrix},\qquad \Omega_R=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2},\qquad P_e(t)=\frac{\Omega^2}{\Omega_R^2}\sin^2\frac{\Omega_Rt}{2} $$

DERIVE THE EQUATION

핵심 식을 네 단계로 읽고 유도합니다

$$ \hat H=\frac\hbar2\begin{pmatrix}\Delta&\Omega\\\Omega&-\Delta\end{pmatrix},\qquad \Omega_R=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2},\qquad P_e(t)=\frac{\Omega^2}{\Omega_R^2}\sin^2\frac{\Omega_Rt}{2} $$

일반 Hermitian 2×2 Hamiltonian에서 항등행렬 성분을 분리해 H=E0I+(ℏ/2)h·σ로 씁니다.

(h·σ)²=|h|²I를 사용해 고유값 E±=E0±ℏ|h|/2를 얻습니다.

행렬지수 U=cos(|h|t/2)I−i sin(|h|t/2)ĥ·σ를 계산합니다.

초기 바닥상태에 U를 적용해 들뜬상태 진폭을 구하고 절댓값 제곱하여 Rabi 확률을 얻습니다.

THREE WORKED PROBLEMS

대입에서 끝내지 않고 결과의 뜻까지 확인합니다

각 예제는 식 세우기 → 계산 → 단위·극한 점검 → 물리적 해석의 순서로 읽으세요.

공명 π-pulse 시간

$$ \begin{aligned}\Delta&=0,\quad P_e(t)=\sin^2\frac{\Omega t}{2}\\P_e(t_\pi)&=1\Rightarrow\frac{\Omega t_\pi}{2}=\frac\pi2\\t_\pi&=\frac\pi\Omega\end{aligned} $$

Ω=2π×10 MHz이면 tπ=50 ns입니다. 이 시간만큼 구동하면 바닥상태가 들뜬상태로 완전히 뒤집히며 qubit X gate와 같습니다.

detuning이 Rabi 진폭에 미치는 영향

$$ \begin{aligned}\Delta&=\Omega\\\Omega_R&=\sqrt2\Omega\\P_{e,\max}&=\frac{\Omega^2}{\Omega^2+\Delta^2}=\frac12\end{aligned} $$

구동 세기와 detuning이 같으면 아무리 오래 구동해도 들뜬상태 확률은 1/2을 넘지 못합니다. 공명조건은 단지 진동속도뿐 아니라 최대 전이율을 결정합니다.

결합된 두 궤도의 에너지 분할

$$ \begin{aligned}H&=\begin{pmatrix}\epsilon&t\\t&\epsilon\end{pmatrix}\\E_\pm&=\epsilon\pm t\\|+\rangle&=\frac{|1\rangle+|2\rangle}{\sqrt2},\quad|-\rangle=\frac{|1\rangle-|2\rangle}{\sqrt2}\end{aligned} $$

같은 에너지의 두 국소상태가 결합하면 대칭·반대칭 상태로 갈라지고 간격은 2|t|입니다. 분자 결합·반결합 오비탈과 tight-binding 밴드의 씨앗입니다.

스스로 확인하기 · 두 상태 사이 결합은 에너지와 시간발전을 어떻게 바꿀까요?

비대각 결합은 bare state를 혼합하고 에너지 반교차를 만듭니다. 주기 외부장이 준위차와 공명하면 상태점유가 Rabi 진동하며 두 상태 사이를 coherent하게 오갑니다.

02문제와 물리적 직관

먼저 구분할 세 가지 개념

detuning — 구동 각진동수와 계의 공명 각진동수 차이를 나타내는 Δ입니다.
Rabi 진동 — coherent 구동 아래 두 준위 점유확률이 주기적으로 교환되는 현상입니다.
Bloch 구면 — 정규화된 순수 두 상태 계를 단위구면 위 한 점으로 표현한 기하학적 그림입니다.

03수학적 모형과 핵심 방정식

H=(ℏ/2)(Δσz+Ωσx)로 쓰면 유효 자기장 벡터 (Ω,0,Δ) 주위의 Bloch 벡터 회전으로 해석할 수 있습니다. 일반화 Rabi 각진동수는 ΩR=√(Ω²+Δ²), 공명 Δ=0에서 완전 population inversion이 가능합니다.

$$ \hat H=\frac\hbar2\begin{pmatrix}\Delta&\Omega\\\Omega&-\Delta\end{pmatrix},\qquad \Omega_R=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2},\qquad P_e(t)=\frac{\Omega^2}{\Omega_R^2}\sin^2\frac{\Omega_Rt}{2} $$

detuning Δ가 0일 때 전이진폭이 1까지 올라가고, 공명에서 벗어나면 진폭이 감소합니다.

04유도와 계산 전략

공식은 외우는 대상이 아니라 가정과 정의에서 따라 나오는 결과입니다. 아래 순서를 따라 각 항의 출처와 계산 조건을 확인합니다.

식을 전개하는 네 단계

일반 Hermitian 2×2 Hamiltonian에서 항등행렬 성분을 분리해 H=E0I+(ℏ/2)h·σ로 씁니다.
(h·σ)²=|h|²I를 사용해 고유값 E±=E0±ℏ|h|/2를 얻습니다.
행렬지수 U=cos(|h|t/2)I−i sin(|h|t/2)ĥ·σ를 계산합니다.
초기 바닥상태에 U를 적용해 들뜬상태 진폭을 구하고 절댓값 제곱하여 Rabi 확률을 얻습니다.

05적용 범위·한계·다음 연결

실제 계는 환경과 결합해 dephasing T2와 relaxation T1을 겪으므로 이상적 Rabi 진동이 감쇠합니다. 강한 구동에서는 rotating-wave approximation이 깨지고 Bloch–Siegert shift가 나타납니다.

다음 과목과 연구로 이어지는 연결

Part 5의 스핀 1/2는 자기장 속 두 상태 계의 대표 사례입니다.
분자오비탈과 고체 tight-binding 모형은 많은 두 상태 결합을 확장한 것입니다.
고급 과정에서 interaction picture와 시간정렬 지수로 임의 구동을 다룹니다.

06이 글의 용어 사전

본문을 읽다가 “그래서 이 말이 정확히 뭐지?”라는 질문이 생기면 여기에서 다시 확인할 수 있습니다.

detuningdetuning: 구동 각진동수와 계의 공명 각진동수 차이를 나타내는 Δ입니다.
Rabi 진동Rabi oscillation: coherent 구동 아래 두 준위 점유확률이 주기적으로 교환되는 현상입니다.
Bloch 구면Bloch sphere: 정규화된 순수 두 상태 계를 단위구면 위 한 점으로 표현한 기하학적 그림입니다.
상태벡터state vector: 한 양자계에서 가능한 모든 측정의 확률 정보를 담는 Hilbert 공간의 벡터입니다.
Hamiltonian: 계의 에너지와 시간발전을 생성하는 Hermitian 연산자입니다.
중첩superposition: 둘 이상의 허용 상태를 복소 계수로 선형 결합해 새로운 상태를 만드는 성질입니다.

07참고자료와 더 읽을거리

KAIST 물리학과 교과과정 — PH301·PH302 양자역학 I·II와 수리물리학·고전역학의 공식 학부 교과 흐름을 확인합니다.
MIT OpenCourseWare, Quantum Physics I — 파동함수, 1차원 퍼텐셜, 조화진동자, 산란과 수소 원자를 강의·문제 세트로 학습합니다.
MIT OpenCourseWare, Quantum Physics II — 양자 동역학, 두 상태 계, 각운동량·스핀, 동일입자 형식의 학부 후반부 기준입니다.
Griffiths & Schroeter, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed. — 파동함수부터 대칭성·근사법·산란·양자 동역학까지 이어지는 학부 표준 목차입니다.

NEXT QUANTUM NOTE궤도 각운동량: 회전 대수에서 구면조화함수까지 →