시간의존 섭동과 Fermi 황금률: 진폭이 전이율이 되는 과정

상호작용 그림의 Dyson 급수에서 전이진폭을 유도하고 긴 시간·연속 스펙트럼 극한에서 Fermi golden rule을 얻습니다.

대학원 고급 양자역학 · Sakurai · PART 4 · 고급 근사법과 기하학적 위상02 / 03

한 최종상태로 갈 확률은 계속 진동하지만 매우 촘촘한 최종상태들을 모두 합하면 시간이 지날수록 일정한 속도로 전이가 누적됩니다.

유한시간의 sinc² 전이확률이 어떻게 에너지보존 δ 함수와 일정한 전이율로 바뀔까요?

이번 글의 답긴 시간에는 sinc² peak의 높이가 t², 폭이 1/t로 변해 면적이 t에 비례합니다. 연속상태 밀도와 적분하면 tδ(E_f−E_i−ℏω) 극한이 되어 확률을 시간으로 나눈 일정한 rate가 남습니다.

PH504 · Sakurai Ch.5 · 대학원 심화

01Dyson 1차진폭

02위상적분공명

03sinc² peakδ 함수 극한

04전이율matrix element×DOS

$$ c_f^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hbar}\int_0^t dt'\,e^{i\omega_{fi}t'}V_{fi}(t'),\qquad \Gamma_{i\to f}=\frac{2\pi}{\hbar}|V_{fi}|^2\rho(E_f) $$

Dyson 1차 → 위상적분 → sinc² peak → 전이율의 순서로 개념을 세우고 계산 결과가 실제 물리 현상을 설명하는지 확인합니다.

01직관부터 완전 전개 계산까지

SAKURAI, STEP BY STEP

시간의존 섭동과 황금률: 기호를 외우기 전에 질문부터 세우기

시간의존 섭동론은 빛 흡수, spin resonance, decay, scattering의 공통 계산법입니다. 핵심은 ‘작은 V’를 단순한 에너지 이동이 아니라 상태 사이의 진폭 이동으로 다루는 것입니다. 상호작용 그림에서 초기상태 |i⟩로부터 |f⟩로 가는 1차 진폭은 V_fi(t)의 위상적분이고, 구동 주파수가 에너지차와 맞을 때 여러 시각의 기여가 보강됩니다.

BEFORE YOU START

이 글을 읽기 전에 확인할 세 가지

학부 섭동·변분법

복소 위상과 gauge

조화진동자 연산자

CORE CONCEPT

전이진폭

초기상태에서 특정 최종상태로 도달하는 복소확률진폭으로 여러 경로와 시각의 기여가 먼저 합쳐집니다.

CORE CONCEPT

상태밀도

단위 에너지 구간에 존재하는 최종 양자상태의 수로 연속스펙트럼에서 합을 적분으로 바꿉니다.

CORE CONCEPT

Fermi 황금률

약한 섭동과 Markov·긴 시간 조건에서 얻는 1차 전이의 일정한 rate 공식입니다.

CONCEPT ROUTE

관찰에서 식과 예측으로 가는 흐름

각 화살표는 단순한 목차가 아니라 다음 단계가 왜 필요한지를 보여줍니다.

01Dyson 1차

진폭

02위상적분

공명

03sinc² peak

δ 함수 극한

04전이율

matrix element×DOS

$$ c_f^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hbar}\int_0^t dt'\,e^{i\omega_{fi}t'}V_{fi}(t'),\qquad \Gamma_{i\to f}=\frac{2\pi}{\hbar}|V_{fi}|^2\rho(E_f) $$

DERIVE THE EQUATION

핵심 식을 네 단계로 읽고 유도합니다

$$ c_f^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hbar}\int_0^t dt'\,e^{i\omega_{fi}t'}V_{fi}(t'),\qquad \Gamma_{i\to f}=\frac{2\pi}{\hbar}|V_{fi}|^2\rho(E_f) $$

상호작용 그림 방정식 iℏċ_f=Σ_n⟨f|V_I|n⟩c_n에서 초기조건 c_i(0)=1, c_{n≠i}=0을 1차로 대입합니다.

시간독립 V를 0부터 t까지 켰다고 하면 c_f=V_fi(1−e^{iω_fi t})/(ℏω_fi)를 얻고 확률은 4|V_fi|²sin²(ω_fi t/2)/(ℏ²ω_fi²)입니다.

최종상태 합 Σ_f를 ∫dE_fρ(E_f)로 바꾸고 sinc² 함수가 긴 시간에 2πℏtδ(E_f−E_i)로 수렴함을 사용합니다.

전체확률 P(t)=Γt를 얻어 Γ=P/t를 정의하며, 구동이 있으면 δ(E_f−E_i∓ℏω)가 흡수·유도방출 에너지보존을 강제합니다.

THREE WORKED PROBLEMS

대입에서 끝내지 않고 결과의 뜻까지 확인합니다

각 예제는 식 세우기 → 계산 → 단위·극한 점검 → 물리적 해석의 순서로 읽으세요.

사각 pulse의 resonance line shape

$$ \begin{aligned}P_{i\to f}(t)&=\frac{4|V_{fi}|^2}{\hbar^2}\frac{\sin^2(\Delta\omega t/2)}{\Delta\omega^2}\\P(0)&=\frac{|V_{fi}|^2t^2}{\hbar^2}\\\Delta\omega_{\rm width}&\sim\frac{2\pi}{t}\end{aligned} $$

pulse가 길수록 energy resolution이 좋아지고 peak는 좁아집니다. 정확한 공명에서는 sin x/x 극한으로 확률이 t²로 증가하지만 섭동론은 P≪1인 시간까지만 유효합니다.

전기쌍극자 흡수율

$$ \begin{aligned}V(t)&=-q\boldsymbol E_0\cdot\boldsymbol r\cos\omega t\\\Gamma_{i\to f}&=\frac{2\pi}{\hbar}\left|\frac{-q}{2}\boldsymbol E_0\cdot\langle f|\boldsymbol r|i\rangle\right|^2\\&\quad\times\rho(E_f)\,\delta(E_f-E_i-\hbar\omega)\end{aligned} $$

편광은 r의 어느 spherical component가 결합하는지 정하고 Wigner–Eckart 선택규칙과 함께 허용 전이를 고릅니다. 나머지 matrix element 크기가 oscillator strength를 결정합니다.

3차원 자유입자의 상태밀도

$$ \begin{aligned}N(k)&=g\frac{V}{6\pi^2}k^3,\quad E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}\\\rho(E)&=\frac{dN}{dE}=g\frac{V}{4\pi^2}\left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt E\\\Gamma(E)&\propto |V_{fi}(E)|^2\sqrt E\end{aligned} $$

같은 matrix element라도 에너지가 올라가 이용 가능한 최종상태가 늘면 rate가 변합니다. g는 spin 등 내부축퇴를 세는 계수이며 중복계수 여부를 반드시 확인해야 합니다.

스스로 확인하기 · 유한시간의 sinc² 전이확률이 어떻게 에너지보존 δ 함수와 일정한 전이율로 바뀔까요?

긴 시간에는 sinc² peak의 높이가 t², 폭이 1/t로 변해 면적이 t에 비례합니다. 연속상태 밀도와 적분하면 tδ(E_f−E_i−ℏω) 극한이 되어 확률을 시간으로 나눈 일정한 rate가 남습니다.

02문제와 물리적 직관

먼저 구분할 세 가지 개념

전이진폭 — 초기상태에서 특정 최종상태로 도달하는 복소확률진폭으로 여러 경로와 시각의 기여가 먼저 합쳐집니다.
상태밀도 — 단위 에너지 구간에 존재하는 최종 양자상태의 수로 연속스펙트럼에서 합을 적분으로 바꿉니다.
Fermi 황금률 — 약한 섭동과 Markov·긴 시간 조건에서 얻는 1차 전이의 일정한 rate 공식입니다.

03수학적 모형과 핵심 방정식

H=H₀+V(t), H₀|n⟩=E_n|n⟩에서 |ψ_I⟩=Σ_nc_n(t)|n⟩입니다. 1차 진폭은 c_f^(1)=−(i/ℏ)∫dt e^{iω_fi t}V_fi(t)입니다. 단색 구동은 흡수와 방출의 두 Fourier 성분을 만들며 긴 시간 연속스펙트럼에서 Γ_{i→f}=(2π/ℏ)|V_fi|²ρ(E_f)가 됩니다.

$$ c_f^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hbar}\int_0^t dt'\,e^{i\omega_{fi}t'}V_{fi}(t'),\qquad \Gamma_{i\to f}=\frac{2\pi}{\hbar}|V_{fi}|^2\rho(E_f) $$

황금률은 matrix element, 에너지보존, 이용 가능한 최종상태 수의 곱으로 전이율을 분해합니다.

04유도와 계산 전략

공식은 외우는 대상이 아니라 가정과 정의에서 따라 나오는 결과입니다. 아래 순서를 따라 각 항의 출처와 계산 조건을 확인합니다.

식을 전개하는 네 단계

상호작용 그림 방정식 iℏċ_f=Σ_n⟨f|V_I|n⟩c_n에서 초기조건 c_i(0)=1, c_{n≠i}=0을 1차로 대입합니다.
시간독립 V를 0부터 t까지 켰다고 하면 c_f=V_fi(1−e^{iω_fi t})/(ℏω_fi)를 얻고 확률은 4|V_fi|²sin²(ω_fi t/2)/(ℏ²ω_fi²)입니다.
최종상태 합 Σ_f를 ∫dE_fρ(E_f)로 바꾸고 sinc² 함수가 긴 시간에 2πℏtδ(E_f−E_i)로 수렴함을 사용합니다.
전체확률 P(t)=Γt를 얻어 Γ=P/t를 정의하며, 구동이 있으면 δ(E_f−E_i∓ℏω)가 흡수·유도방출 에너지보존을 강제합니다.

05적용 범위·한계·다음 연결

황금률은 짧은 시간의 quadratic Zeno 영역이나 매우 긴 시간의 power-law tail을 설명하지 못합니다. Γ가 에너지폭보다 작고 bath correlation time이 짧으며 최종상태가 사실상 연속이어야 합니다. 강한 공명구동에서는 확률이 1을 넘기 전에 Rabi 해를 비섭동적으로 사용해야 합니다.

다음 과목과 연구로 이어지는 연결

adiabatic theorem은 섭동이 매우 느릴 때 전이가 억제되는 반대 극한을 다룹니다.
산란 단면적은 황금률의 전이율을 입사 flux로 나눈 양으로 이해할 수 있습니다.
분광학·phonon scattering·전자 수명에서 matrix element와 density of states가 관측선폭을 결정합니다.

06이 글의 용어 사전

본문을 읽다가 “그래서 이 말이 정확히 뭐지?”라는 질문이 생기면 여기에서 다시 확인할 수 있습니다.

전이진폭transition amplitude: 초기상태에서 특정 최종상태로 도달하는 복소확률진폭으로 여러 경로와 시각의 기여가 먼저 합쳐집니다.
상태밀도density of states: 단위 에너지 구간에 존재하는 최종 양자상태의 수로 연속스펙트럼에서 합을 적분으로 바꿉니다.
Fermi 황금률Fermi's golden rule: 약한 섭동과 Markov·긴 시간 조건에서 얻는 1차 전이의 일정한 rate 공식입니다.
생성자generator: 연속 변환을 무한소 수준에서 만들며 대응하는 보존량과 연결되는 Hermitian 연산자입니다.
표현representation: 추상 대칭 연산을 상태공간에서 작용하는 행렬이나 연산자로 구현한 것입니다.
propagator: 초기 상태가 주어진 시간 뒤 어떤 상태로 이동하는지를 나타내는 시간발전 kernel입니다.

07참고자료와 더 읽을거리

Sakurai & Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. — 추상 형식, 동역학, 대칭성, 근사법, 산란과 상대론적 양자역학을 다루는 대학원 기준 교재입니다.
MIT OpenCourseWare, Quantum Theory I — Sakurai를 주교재로 Hilbert 공간, 합성계, 대칭성, 경로적분과 근사법을 전개합니다.
MIT OpenCourseWare, Quantum Theory II — 고급 산란, 동일입자와 상대론적 양자이론으로 이어지는 두 번째 대학원 과목입니다.
KAIST 물리학과 대학원 교과과정 — PH503·PH504 양자역학 I·II와 고체·통계·장론 과목 사이의 공식 연결을 확인합니다.

NEXT ADVANCED QUANTUM NOTE단열정리와 Berry 위상: 느린 변화가 남기는 기하학 →