회전군의 Lie algebra, SU(2)의 double cover, Wigner D 행렬과 Wigner–Eckart 정리를 연결해 spin 회전과 선택규칙을 계산합니다.

대학원 고급 양자역학 · Sakurai · PART 3 · 회전·대칭성·각운동량02 / 03

고전 벡터는 360° 돌리면 돌아오지만 spin-1/2 ket은 부호가 바뀌며 720°를 돌아야 같은 ket이 됩니다.

공간의 회전군이 SO(3)인데 왜 반정수 spin을 설명하려면 SU(2)가 필요할까요?

이번 글의 답양자상태는 ket이 아니라 ray이므로 회전의 projective representation이 허용됩니다. SO(3)의 이중피복 SU(2)는 같은 공간회전에 ±U 두 연산자를 대응시키며, 그 비자명한 표현이 반정수 spin을 만듭니다.

01직관부터 완전 전개 계산까지

SAKURAI, STEP BY STEP

회전군과 각운동량: 기호를 외우기 전에 질문부터 세우기

회전은 세 개 generator J_i를 가지지만 서로 가환하지 않습니다. [J_i,J_j]=iℏε_ijkJ_k라는 Lie algebra가 가능한 representation을 j=0,1/2,1,…로 분류합니다. 정수 j는 보통 공간회전 SO(3)의 representation이고 반정수 j는 그 이중피복 SU(2)의 representation입니다. 이 추상 구조는 Clebsch–Gordan 계수, multiplet, 분광 선택규칙을 한꺼번에 정리합니다.

BEFORE YOU START

이 글을 읽기 전에 확인할 세 가지

01

학부 각운동량

02

군과 표현의 기초

03

교환자와 BCH 공식

CORE CONCEPT

double cover

SU(2)의 서로 다른 두 원소 ±U가 SO(3)의 같은 공간회전에 대응하는 2대1 사상입니다.

CORE CONCEPT

Wigner D 행렬

고정된 j 부분공간에서 일반 회전 U(R)의 행렬원 D^j_{m'm}(R)입니다.

CORE CONCEPT

Wigner–Eckart 정리

tensor operator의 matrix element를 방향 의존 CG 계수와 동역학을 담은 reduced matrix element로 분리합니다.

CONCEPT ROUTE

관찰에서 식과 예측으로 가는 흐름

각 화살표는 단순한 목차가 아니라 다음 단계가 왜 필요한지를 보여줍니다.

01회전 algebra

[J_i,J_j]

02SU(2) 표현

정수·반정수 j

03각운동량 결합

CG 계수

04tensor operator

선택규칙

$$ [J_i,J_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}J_k,\qquad U(R)=e^{-i\theta\boldsymbol n\cdot\boldsymbol J/\hbar},\qquad \langle j'm'|T_q^{(k)}|jm\rangle=\frac{\langle jm;kq|j'm'\rangle}{\sqrt{2j'+1}}\langle j'||T^{(k)}||j\rangle $$

DERIVE THE EQUATION

핵심 식을 네 단계로 읽고 유도합니다

$$ [J_i,J_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}J_k,\qquad U(R)=e^{-i\theta\boldsymbol n\cdot\boldsymbol J/\hbar},\qquad \langle j'm'|T_q^{(k)}|jm\rangle=\frac{\langle jm;kq|j'm'\rangle}{\sqrt{2j'+1}}\langle j'||T^{(k)}||j\rangle $$
01

무한소 세 축 회전의 비가환 조성으로부터 [J_i,J_j]=iℏε_ijkJ_k를 얻고 Casimir J²가 모든 J_i와 가환함을 확인합니다.

02

J_±=J_x±iJ_y를 정의해 [J_z,J_±]=±ℏJ_±와 J_∓J_±=J²−J_z²∓ℏJ_z를 구합니다.

03

사다리의 norm이 음수가 될 수 없고 위·아래에서 끝나야 한다는 조건으로 J²=ℏ²j(j+1), m=−j,…,j를 얻습니다.

04

spin-1/2에 J=ℏσ/2를 대입해 U(2π)=e^{-iπn·σ}=−I, U(4π)=I임을 계산합니다.

THREE WORKED PROBLEMS

대입에서 끝내지 않고 결과의 뜻까지 확인합니다

각 예제는 식 세우기 → 계산 → 단위·극한 점검 → 물리적 해석의 순서로 읽으세요.

01

spin-1/2의 유한 회전

$$ \begin{aligned}U_z(\theta)&=e^{-i\theta\sigma_z/2}=\begin{pmatrix}e^{-i\theta/2}&0\\0&e^{i\theta/2}\end{pmatrix}\\U_z(2\pi)&=-I,\qquad U_z(4\pi)=I\end{aligned} $$

ket의 전체 부호는 단독으로 관측되지 않지만 회전된 경로와 회전되지 않은 경로를 간섭시키면 상대부호가 관측됩니다. 2π 회전의 −1은 단순 표기 문제가 아닙니다.

02

1/2⊗1/2의 singlet과 triplet

$$ \begin{aligned}|1,0\rangle&=\frac{|+ -\rangle+|- +\rangle}{\sqrt2}\\|0,0\rangle&=\frac{|+ -\rangle-|- +\rangle}{\sqrt2}\\\frac12\otimes\frac12&=1\oplus0\end{aligned} $$

대칭인 세 상태는 j=1 triplet, 반대칭인 한 상태는 j=0 singlet입니다. 교환대칭과 회전대칭이 함께 작용해 두 spin 계의 spectrum을 분류합니다.

03

전기쌍극자 선택규칙

$$ \begin{aligned}\langle n'l'm'|r_q|nlm\rangle&\propto\langle lm;1q|l'm'\rangle\\\Delta l&=\pm1,\qquad \Delta m=q=0,\pm1\end{aligned} $$

위치 r은 rank-1, odd-parity tensor입니다. 구체적인 radial integral을 풀기 전에도 CG 계수가 0인 전이는 금지됨을 알 수 있어 원자 분광선을 체계적으로 분류할 수 있습니다.

스스로 확인하기 · 공간의 회전군이 SO(3)인데 왜 반정수 spin을 설명하려면 SU(2)가 필요할까요?

양자상태는 ket이 아니라 ray이므로 회전의 projective representation이 허용됩니다. SO(3)의 이중피복 SU(2)는 같은 공간회전에 ±U 두 연산자를 대응시키며, 그 비자명한 표현이 반정수 spin을 만듭니다.

02문제와 물리적 직관

회전은 세 개 generator J_i를 가지지만 서로 가환하지 않습니다. [J_i,J_j]=iℏε_ijkJ_k라는 Lie algebra가 가능한 representation을 j=0,1/2,1,…로 분류합니다. 정수 j는 보통 공간회전 SO(3)의 representation이고 반정수 j는 그 이중피복 SU(2)의 representation입니다. 이 추상 구조는 Clebsch–Gordan 계수, multiplet, 분광 선택규칙을 한꺼번에 정리합니다.

먼저 구분할 세 가지 개념
  • double cover — SU(2)의 서로 다른 두 원소 ±U가 SO(3)의 같은 공간회전에 대응하는 2대1 사상입니다.
  • Wigner D 행렬 — 고정된 j 부분공간에서 일반 회전 U(R)의 행렬원 D^j_{m'm}(R)입니다.
  • Wigner–Eckart 정리 — tensor operator의 matrix element를 방향 의존 CG 계수와 동역학을 담은 reduced matrix element로 분리합니다.

03수학적 모형과 핵심 방정식

축 n 주위 θ 회전은 U(R)=e^{-iθn·J/ℏ}입니다. |jm⟩은 J²와 J_z의 동시 고유상태이며 ladder 연산자가 m을 한 단위 바꿉니다. irreducible tensor operator T_q^(k)는 회전 아래 rank k representation처럼 변환하고, Wigner–Eckart 정리는 matrix element를 기하학적 CG 계수와 하나의 reduced matrix element로 분리합니다.

$$ [J_i,J_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}J_k,\qquad U(R)=e^{-i\theta\boldsymbol n\cdot\boldsymbol J/\hbar},\qquad \langle j'm'|T_q^{(k)}|jm\rangle=\frac{\langle jm;kq|j'm'\rangle}{\sqrt{2j'+1}}\langle j'||T^{(k)}||j\rangle $$
회전의 algebra가 상태와 연산자의 transformation law, 그리고 모든 각운동량 선택규칙을 결정합니다.

04유도와 계산 전략

공식은 외우는 대상이 아니라 가정과 정의에서 따라 나오는 결과입니다. 아래 순서를 따라 각 항의 출처와 계산 조건을 확인합니다.

식을 전개하는 네 단계
  • 무한소 세 축 회전의 비가환 조성으로부터 [J_i,J_j]=iℏε_ijkJ_k를 얻고 Casimir J²가 모든 J_i와 가환함을 확인합니다.
  • J_±=J_x±iJ_y를 정의해 [J_z,J_±]=±ℏJ_±와 J_∓J_±=J²−J_z²∓ℏJ_z를 구합니다.
  • 사다리의 norm이 음수가 될 수 없고 위·아래에서 끝나야 한다는 조건으로 J²=ℏ²j(j+1), m=−j,…,j를 얻습니다.
  • spin-1/2에 J=ℏσ/2를 대입해 U(2π)=e^{-iπn·σ}=−I, U(4π)=I임을 계산합니다.

05적용 범위·한계·다음 연결

선택규칙이 0이 아닌 matrix element의 크기까지 알려주지는 않습니다. reduced matrix element는 Hamiltonian과 radial wavefunction의 동역학을 계산해야 합니다. 또한 spin은 입자가 실제로 자전하는 고전 구라는 뜻이 아니며, SU(2) representation으로 정의되는 내재적 각운동량입니다.

다음 과목과 연구로 이어지는 연결
  • parity와 time reversal을 함께 사용하면 회전 선택규칙보다 더 강한 금지조건과 Kramers 축퇴를 얻습니다.
  • fine structure와 spin–orbit coupling은 L과 S를 total J로 결합해 분석합니다.
  • 결정장에서는 연속회전이 점군으로 낮아져 atomic multiplet이 crystal-field representation으로 갈라집니다.

06이 글의 용어 사전

본문을 읽다가 “그래서 이 말이 정확히 뭐지?”라는 질문이 생기면 여기에서 다시 확인할 수 있습니다.

double coverdouble covering
SU(2)의 서로 다른 두 원소 ±U가 SO(3)의 같은 공간회전에 대응하는 2대1 사상입니다.
Wigner D 행렬Wigner D-matrix
고정된 j 부분공간에서 일반 회전 U(R)의 행렬원 D^j_{m'm}(R)입니다.
Wigner–Eckart 정리Wigner–Eckart theorem
tensor operator의 matrix element를 방향 의존 CG 계수와 동역학을 담은 reduced matrix element로 분리합니다.
생성자generator
연속 변환을 무한소 수준에서 만들며 대응하는 보존량과 연결되는 Hermitian 연산자입니다.
표현representation
추상 대칭 연산을 상태공간에서 작용하는 행렬이나 연산자로 구현한 것입니다.
propagator
초기 상태가 주어진 시간 뒤 어떤 상태로 이동하는지를 나타내는 시간발전 kernel입니다.

07참고자료와 더 읽을거리

  1. Sakurai & Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. — 추상 형식, 동역학, 대칭성, 근사법, 산란과 상대론적 양자역학을 다루는 대학원 기준 교재입니다.
  2. MIT OpenCourseWare, Quantum Theory I — Sakurai를 주교재로 Hilbert 공간, 합성계, 대칭성, 경로적분과 근사법을 전개합니다.
  3. MIT OpenCourseWare, Quantum Theory II — 고급 산란, 동일입자와 상대론적 양자이론으로 이어지는 두 번째 대학원 과목입니다.
  4. KAIST 물리학과 대학원 교과과정 — PH503·PH504 양자역학 I·II와 고체·통계·장론 과목 사이의 공식 연결을 확인합니다.
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