Clifford algebra에서 Dirac 방정식을 구성하고 자유 spinor, 보존 current, 비상대론 극한의 Pauli 항을 계산합니다.

대학원 고급 양자역학 · Sakurai · PART 6 · 상대론적 양자역학과 현대적 연결02 / 03

상대론적 에너지관계를 시간과 공간에 대해 모두 1계로 선형화하자 4성분 spinor, 고유한 spin, antiparticle이 한꺼번에 등장합니다.

Dirac 방정식에서 spin은 별도의 가정인가요, 아니면 상대론적 선형화가 강제한 결과인가요?

이번 글의 답행렬 α와 β가 상대론적 dispersion을 재현하려면 Clifford algebra를 만족해야 하고 최소 표현이 4차원입니다. 회전 generator에 orbital 부분 외의 spin 행렬이 필연적으로 나타나 spin-1/2가 방정식 구조에서 나옵니다.

01직관부터 완전 전개 계산까지

SAKURAI, STEP BY STEP

Dirac 방정식과 spinor: 기호를 외우기 전에 질문부터 세우기

Dirac는 양수 density ψ†ψ를 유지하기 위해 시간에 1계인 상대론적 방정식을 찾았습니다. Hamiltonian을 H=cα·p+βmc²로 가정하고 H²=p²c²+m²c⁴가 되게 요구하면 α_i와 β가 서로 anticommuting 해야 합니다. 이 algebra의 최소 4×4 representation이 particle/antiparticle과 두 spin 방향을 담는 4성분 spinor를 만듭니다.

BEFORE YOU START

이 글을 읽기 전에 확인할 세 가지

01

특수상대론

02

Pauli 행렬과 spinor

03

전자기장과 gauge 대칭

CORE CONCEPT

Clifford algebra

gamma 행렬의 anticommutator가 시공간 metric을 재현해 Dirac 연산자의 제곱을 Klein–Gordon 연산자로 만드는 algebra입니다.

CORE CONCEPT

Dirac spinor

Lorentz 변환의 spin-1/2 representation으로 변환하는 4성분 복소장입니다.

CORE CONCEPT

Dirac adjoint

ψ̄=ψ†γ⁰로 정의되어 ψ̄ψ, ψ̄γ^μψ 같은 Lorentz-covariant bilinear를 만드는 켤레입니다.

CONCEPT ROUTE

관찰에서 식과 예측으로 가는 흐름

각 화살표는 단순한 목차가 아니라 다음 단계가 왜 필요한지를 보여줍니다.

01선형화

H=cα·p+βmc²

02Clifford algebra

gamma 행렬

034-spinor

spin·antiparticle

04Pauli 극한

g=2

$$ (i\hbar c\gamma^\mu\partial_\mu-mc^2)\psi=0,\qquad \{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}I,\qquad j^\mu=c\bar\psi\gamma^\mu\psi $$

DERIVE THE EQUATION

핵심 식을 네 단계로 읽고 유도합니다

$$ (i\hbar c\gamma^\mu\partial_\mu-mc^2)\psi=0,\qquad \{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}I,\qquad j^\mu=c\bar\psi\gamma^\mu\psi $$
01

H=cα·p+βmc²를 제곱해 H²=c²Σ_ijα_iα_jp_ip_j+mc³Σ_i(α_iβ+βα_i)p_i+β²m²c⁴를 얻습니다.

02

교차항을 없애고 p² 계수를 맞추기 위해 {α_i,α_j}=2δ_ij, {α_i,β}=0, β²=I를 요구합니다.

03

γ⁰=β, γ^i=βα_i로 정의해 공변형을 만들고 원래 식과 adjoint 식을 결합해 ∂_μ(ψ̄γ^μψ)=0을 유도합니다.

04

ψ=e^{-imc²t/ℏ}(ϕ,χ)^T로 큰·작은 성분을 나누고 χ≈(σ·π/2mc)ϕ를 제거해 Pauli Hamiltonian과 σ·B 항을 얻습니다.

THREE WORKED PROBLEMS

대입에서 끝내지 않고 결과의 뜻까지 확인합니다

각 예제는 식 세우기 → 계산 → 단위·극한 점검 → 물리적 해석의 순서로 읽으세요.

01

정지한 자유입자의 에너지 성분

$$ \begin{aligned}\boldsymbol p&=0\Rightarrow H=\beta mc^2\\H\begin{pmatrix}\phi\\0\end{pmatrix}&=+mc^2\begin{pmatrix}\phi\\0\end{pmatrix},\quad H\begin{pmatrix}0\\\chi\end{pmatrix}=-mc^2\begin{pmatrix}0\\\chi\end{pmatrix}\end{aligned} $$

Dirac representation에서 위 두 성분은 정지 particle의 두 spin, 아래 두 성분은 negative-energy branch입니다. 장 양자화 뒤에는 후자가 antiparticle 생성 mode로 바뀝니다.

02

자유 양에너지 spinor의 작은 성분

$$ \begin{aligned}u_s(\boldsymbol p)&=N\begin{pmatrix}\chi_s\\\frac{c\boldsymbol\sigma\cdot\boldsymbol p}{E+mc^2}\chi_s\end{pmatrix}\\\frac{|\mathrm{lower}|}{|\mathrm{upper}|}&\sim\frac{pc}{E+mc^2}\simeq\frac{v}{2c}\end{aligned} $$

비상대론 속도에서는 아래 성분이 v/c만큼 작지만 0은 아닙니다. 이 작은 성분이 spin–orbit coupling과 Darwin 항 같은 상대론 보정을 전달합니다.

03

Pauli 자기모멘트와 g=2

$$ \begin{aligned}(\boldsymbol\sigma\cdot\boldsymbol\pi)^2&=\pi^2-q\hbar\boldsymbol\sigma\cdot\boldsymbol B\\H_{\rm NR}&=\frac{\pi^2}{2m}+q\phi-\frac{q\hbar}{2m}\boldsymbol\sigma\cdot\boldsymbol B\\\boldsymbol\mu&=\frac{q}{m}\boldsymbol S\end{aligned} $$

σ_iσ_j=δ_ij+iε_ijkσ_k와 [π_i,π_j]=iqℏε_ijkB_k를 함께 쓰면 Zeeman 항이 나옵니다. Dirac tree-level 예측은 g=2이며 QED loop가 작은 anomalous correction을 만듭니다.

스스로 확인하기 · Dirac 방정식에서 spin은 별도의 가정인가요, 아니면 상대론적 선형화가 강제한 결과인가요?

행렬 α와 β가 상대론적 dispersion을 재현하려면 Clifford algebra를 만족해야 하고 최소 표현이 4차원입니다. 회전 generator에 orbital 부분 외의 spin 행렬이 필연적으로 나타나 spin-1/2가 방정식 구조에서 나옵니다.

02문제와 물리적 직관

Dirac는 양수 density ψ†ψ를 유지하기 위해 시간에 1계인 상대론적 방정식을 찾았습니다. Hamiltonian을 H=cα·p+βmc²로 가정하고 H²=p²c²+m²c⁴가 되게 요구하면 α_i와 β가 서로 anticommuting 해야 합니다. 이 algebra의 최소 4×4 representation이 particle/antiparticle과 두 spin 방향을 담는 4성분 spinor를 만듭니다.

먼저 구분할 세 가지 개념
  • Clifford algebra — gamma 행렬의 anticommutator가 시공간 metric을 재현해 Dirac 연산자의 제곱을 Klein–Gordon 연산자로 만드는 algebra입니다.
  • Dirac spinor — Lorentz 변환의 spin-1/2 representation으로 변환하는 4성분 복소장입니다.
  • Dirac adjoint — ψ̄=ψ†γ⁰로 정의되어 ψ̄ψ, ψ̄γ^μψ 같은 Lorentz-covariant bilinear를 만드는 켤레입니다.

03수학적 모형과 핵심 방정식

공변형은 (iℏcγ^μ∂_μ−mc²)ψ=0이고 {γ^μ,γ^ν}=2η^{μν}I입니다. adjoint ψ̄=ψ†γ⁰를 쓰면 j^μ=cψ̄γ^μψ가 보존되고 j⁰=cψ†ψ≥0입니다. 최소결합 후 비상대론 극한을 취하면 H_Pauli=(p−qA)²/2m+qφ−(qℏ/2m)σ·B가 되어 g=2 자기모멘트가 나옵니다.

$$ (i\hbar c\gamma^\mu\partial_\mu-mc^2)\psi=0,\qquad \{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}I,\qquad j^\mu=c\bar\psi\gamma^\mu\psi $$
Clifford algebra가 상대론적 dispersion을 보장하고 Dirac adjoint가 Lorentz-covariant bilinear와 양의 density를 만듭니다.

04유도와 계산 전략

공식은 외우는 대상이 아니라 가정과 정의에서 따라 나오는 결과입니다. 아래 순서를 따라 각 항의 출처와 계산 조건을 확인합니다.

식을 전개하는 네 단계
  • H=cα·p+βmc²를 제곱해 H²=c²Σ_ijα_iα_jp_ip_j+mc³Σ_i(α_iβ+βα_i)p_i+β²m²c⁴를 얻습니다.
  • 교차항을 없애고 p² 계수를 맞추기 위해 {α_i,α_j}=2δ_ij, {α_i,β}=0, β²=I를 요구합니다.
  • γ⁰=β, γ^i=βα_i로 정의해 공변형을 만들고 원래 식과 adjoint 식을 결합해 ∂_μ(ψ̄γ^μψ)=0을 유도합니다.
  • ψ=e^{-imc²t/ℏ}(ϕ,χ)^T로 큰·작은 성분을 나누고 χ≈(σ·π/2mc)ϕ를 제거해 Pauli Hamiltonian과 σ·B 항을 얻습니다.

05적용 범위·한계·다음 연결

Dirac 방정식을 외부 potential 속 단일입자 식으로 쓰는 것은 pair creation이 무시될 만큼 약한 장에서 유효합니다. 매우 강한 장과 다입자 생성·소멸에는 Dirac field의 2차 양자화가 필요합니다. gamma 행렬 representation은 선택일 뿐 관측량이 아니며 모든 최종 bilinear와 spectrum은 representation에 무관해야 합니다.

다음 과목과 연구로 이어지는 연결
  • 마지막 글에서 negative-energy 해를 antiparticle로 재해석하고 Foldy–Wouthuysen 전개를 정리합니다.
  • spin–orbit coupling, Darwin term, relativistic mass correction은 원자 fine structure와 relativistic DFT에 들어갑니다.
  • 그래핀·topological insulator의 저에너지 quasiparticle은 유효 Dirac Hamiltonian을 따르지만 c 대신 Fermi velocity를 사용합니다.

06이 글의 용어 사전

본문을 읽다가 “그래서 이 말이 정확히 뭐지?”라는 질문이 생기면 여기에서 다시 확인할 수 있습니다.

Clifford algebraClifford algebra
gamma 행렬의 anticommutator가 시공간 metric을 재현해 Dirac 연산자의 제곱을 Klein–Gordon 연산자로 만드는 algebra입니다.
Dirac spinorDirac spinor
Lorentz 변환의 spin-1/2 representation으로 변환하는 4성분 복소장입니다.
Dirac adjointDirac adjoint
ψ̄=ψ†γ⁰로 정의되어 ψ̄ψ, ψ̄γ^μψ 같은 Lorentz-covariant bilinear를 만드는 켤레입니다.
생성자generator
연속 변환을 무한소 수준에서 만들며 대응하는 보존량과 연결되는 Hermitian 연산자입니다.
표현representation
추상 대칭 연산을 상태공간에서 작용하는 행렬이나 연산자로 구현한 것입니다.
propagator
초기 상태가 주어진 시간 뒤 어떤 상태로 이동하는지를 나타내는 시간발전 kernel입니다.

07참고자료와 더 읽을거리

  1. Sakurai & Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. — 추상 형식, 동역학, 대칭성, 근사법, 산란과 상대론적 양자역학을 다루는 대학원 기준 교재입니다.
  2. MIT OpenCourseWare, Quantum Theory I — Sakurai를 주교재로 Hilbert 공간, 합성계, 대칭성, 경로적분과 근사법을 전개합니다.
  3. MIT OpenCourseWare, Quantum Theory II — 고급 산란, 동일입자와 상대론적 양자이론으로 이어지는 두 번째 대학원 과목입니다.
  4. KAIST 물리학과 대학원 교과과정 — PH503·PH504 양자역학 I·II와 고체·통계·장론 과목 사이의 공식 연결을 확인합니다.
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